Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

Определение:

Граф называется произвольно вычерчиваемым из вершины [math]v[/math] (англ. Arbitrarily traceable graph), если любая цепь с началом в вершине [math]v[/math] может быть продолжена до эйлерового цикла графа [math]G[/math]. Разумеется, если граф произвольно вычерчиваем из вершины [math]v[/math], то он является эйлеровым графом.

Теорема:

Неодноэлементный эйлеров граф [math]G[/math] является произвольно вычерчиваемым из вершины [math]v[/math] тогда и только тогда, когда вершина [math]v[/math] принадлежит любому циклу графа [math]G[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть вершина [math]v[/math] эйлерова графа [math]G[/math] принадлежит любому циклу. Рассмотрим произвольную [math](v, w)[/math]-цепь [math]P[/math] и покажем, что её можно продолжить до эйлерового цикла. Обозначим через [math]G_1[/math] подграф графа [math]G[/math], полученный удалением из [math]G[/math] всех рёбер цепи [math]P[/math]. Если [math]w=v[/math], то все вершины подграфа [math]G_1[/math] имеют чётную степень, если же [math]w\ne v[/math], то [math]G_1[/math] содержит в точности две вершины нечётной степени. Пусть [math]H_0[/math] — компонента связности графа [math]G_1[/math], содержащая вершину [math]v[/math]. Ясно, что вершина [math]w[/math] принадлежит [math]H_0[/math]. Следовательно, [math]H_0[/math] — полуэйлеров граф, и потому в [math]H_0[/math] существует эйлерова [math](v, w)[/math]-цепь [math]Q[/math]. Очевидно, что [math]H_0[/math] содержит все рёбра графа [math]G_1[/math]. Предположим, что [math]G_1[/math] содержит неодноэлементную компоненту связности [math]H[/math], отличную от [math]H_0[/math]. Тогда [math]H[/math] — эйлеров граф, и потому в [math]H[/math] содержится цикл. Этот цикл не проходит через вершину [math]v[/math], что невозможно. Следовательно, все компоненты связности подграфа [math]G_1[/math], отличные от [math]H_0[/math], одноэлементны. Таким образом, цепь [math]Q[/math] содержит все рёбра графа [math]G_1[/math]. Отсюда вытекает, что объединение цепей [math]P[/math] и [math]Q[/math] — эйлеров цикл в графе [math]G[/math], являющийся продолжением цепи [math]P[/math]. Обратно, пусть в графе [math]G[/math] существует цикл [math]C[/math], не содержащий вершину [math]v[/math]. Рассмотрим подграф [math]G_1[/math], полученный удалением из [math]G[/math] всех рёбер цикла [math]C[/math]. Пусть [math]H[/math] — компонента связности подграфа [math]G_1[/math], содержащая вершину [math]v[/math]. Легко понять, что [math]H[/math] — эйлеров граф. Обозначим через [math]P[/math] эйлеров цикл подграфа. Можно считать, что началом и концом цикла [math]P[/math] является вершина [math]v[/math]. Поскольку [math]v[/math] не принадлежит циклу [math]C[/math], цепь [math]P[/math] нельзя продолжить до эйлерового цикла графа [math]G[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Источники:
Асанов М., Баранский В., Расин В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.