Изменения

Зафиксируем <math>f\,\!</math> и <math>g\,\!</math>.

Рассмотрим язык <math>L = \{ <m,x> \mid m(<m,x>)</math> не допускает, используя не более <math> f(|<m,x>|)\,\!</math> памяти <math>\}\,\!</math> .

Пусть <math>L \in DSPACE(f)</math>, тогда для него есть машина тьюринга Тьюринга <math>m_0\,\!</math> такая, что <math>L(m_0)=L\,\!</math>.

Рассмотрим <math>m_0(<m_0,x>)\,\!</math>.

Пусть <math>m_0\,\!</math> допускает <math><m_0,x>\,\!</math>. Тогда <math><m_0,x> \in L</math>, но в <math>L</math> по определению не может быть пары <math><m,x>\,\!</math>, которую допускает <math>m\,\!</math>. Таким образом, получаем противоречие.

Если <math>m_0\,\!</math> не допускает <math><m_0,x>\,\!</math>, то <math><m_0,x>\,\!</math> не принадлежит языку <math>L\,\!</math>. Это значит, что либо <math>m_0\,\!</math> допускает <math><m_0,x>\,\!</math>, либо не допускает, используя памяти больше <math>f(|<m_0,x>|)\,\!</math>. Но <math>L \in DSPACE(f)</math>, поэтому <math>m_0\,\!</math> на любом входе <math>x\,\!</math> использует не более <math>f(|x|)\,\!</math> памяти. Получаем противоречие.

<math>L \in DSPACE(g)</math>, так как можно проэмулировать машину Тьюринга <math>mm_1\,\!</math> такую, что <math>L(m_1)=L\,\!</math>. Для каждой пары <math><m_3,x> \in L</math> рассмотрим <math>m_3(<m_3,x>)\,\!</math>. Если <math>m_3\,\!</math> завершила работу и не допустила, то <math>m_1\,\!</math> допускает <math><m_3,x>\,\!</math>. В другом случае не допускает. Так как любая такая машина использует памяти не более <math>f(|<m_3,x>|)\,\!</math>, а <math> \lim_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n) = 0</math>, <math>m_1\,\!</math> будет использовать памяти не более <math>g(|<m_3,x>|)\,\!</math>.

 Получается, что <math>L \in DSPACE(g(n)) \ DSPACE(f(n))</math> и <math>L \neq \empty</math>.Следовательно, <math>DSPACE(g(n)) \neq DSPACE(f(n))</math>