Пусть <tex> G </tex> — [[Отношение связности, компоненты связности|связный граф]], <tex> n = |VG| \geq 3 </tex> — количество вершин, <tex> d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n </tex> — последовательность степеней. <br>
Если <tex> \forall k \in \mathbb N </tex> верна импликация: <br>
<center><tex> d_k \leq k < n/2 \rightarrow d_{n-k} \geq n-k, (*)</tex></center><br>
то граф <tex> G </tex> [[Гамильтоновы графы|гамильтонов]].
|proof=
Для доказательства теоремы, докажем 3 леммы.
# {{Лемма|about=1
|statement=
<tex>\ d_k \leq k \Leftrightarrow |\{ v \in |VG| : d_v \leq k \}| \geq k. </tex>.
|proof=
Так как * "<tex>\ d_1 \le d_2 \le ... \le d_k Rightarrow </tex>, то уже есть " Пусть <tex>d_1 \ k </tex> вершин, степень которых не превосходит <tex>leq d_2 \leq \ldots \ k </tex>. Если степени некоторых вершинleq d_k, следующих за <tex>d_k \ leq k </tex>, равны <tex>|\ d_k </tex>{ d_1, то число вершинd_2, удовлетворяющих требованию\ldots, превышает <tex>d_k \ }| = k </tex>. <br>'''Доказательство в обратную сторону:''' <br>пусть у нас есть <tex>\ n </tex> вершин. Из них <tex>\ k + p </tex> <tex> (p \ge 0) </tex> имеют степень не больше <tex>\ k </tex>.Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней. <tex>\ { d_1 \le k, d_2 , \le k, ... ldots, d_k \le k, ..., d_} \subset \{v \in VG : d_v \leq k+p\} \le Rightarrow |\{ v \in VG : d_v \leq k </tex>. Значит, <tex>\ d_k }| \le geq k </tex>, q.e.d.}}
# {{Лемма|statement=Если * "<tex>\ d_{n-k} \ge n-k Leftarrow </tex>, то число вершин, степень которых не меньше " Пусть <tex>\ n-k </tex>, больше или равно <tex>\ k+1 </tex>.Верно и обратное утверждение.|proof=Так как <tex>\ d_{n-k} v \le d_{n-k+1} \le .... \le d_n </tex> и <tex>\ d_{n-k} in VG : d_v \ge n-leq k </tex>, то мы уже получаем <tex>\ d_{n-k}, d_{n-k+1}, ...., d_n | = k + 1 </tex> вершинp, удовлетворяющих нашему требованию. Если степени некоторых вершин, предшествующих <tex>\ n-k </tex>, равны <tex>\ d_{n-k} </tex>, то число вершин, удовлетворяющих требованию, превышает <tex>\ k+1 </tex>. <br>'''Доказательство в обратную сторону:''' <br>пусть у нас есть <tex>\ n </tex> вершин. Из них <tex>p \ k+p </tex> <tex> (p > geq 0)</tex> имеют степень не меньше <tex>\ n-k </tex>. Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней. Получим: <br><tex>d_1 \leq d_2 \leq \ldots \ d_n leq d_k \ge n-k, d_{n-1} leq \ge n-k, ..., d_{n-k} ldots \ge n-k, ... , leq d_{n-k-+ p+1} \ge n-k </tex>. Если <tex> p = 1 </tex>, то <tex> n-k-p+1 = n-leq k </tex>. Отсюда видно, что <tex>\ d_{n-k} Rightarrow d_k \ge n-leq k </tex>, q.e.d.
}}
}}
{{Лемма
|about=
III2
|statement=
Пусть верно следующее<tex>\ d_{n - k} \geq n - k \Leftrightarrow |\{ v \in VG :d_v \geq n - k \}| \geq k + 1. </tex>|proof=# * "<tex> (*) \Rightarrow </tex> выполнено для последовательности " Пусть <tex>d_{n - k} \geq n - k, \leq d_{n - k} \leq d_{n - k + 1} \leq \ldots \leq d_n, |\ d_1{ d_{n - k}, d_2d_{n - k + 1}, ... \ldots , d_n \}| = k + 1 </tex>. <br># <tex>\ d_1 { d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \le d_1' , ... ldots , d_n \le d_n' } \subset \{ v \in VG : d_v \geq n - k \} \Rightarrow \{ v \in VG : d_v \geq n - k \} \geq k + 1 </tex>, q.e.d. Тогда * "<tex>\ (*) Leftarrow </tex> выполнено и для " Пусть <tex>|\{ v \in VG : d_v \geq n - k \ d_1'}| = k + 1 + p, p \geq 0 </tex>.Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней.. , <br><tex> d_n' \geq d_{n - 1} \ldots \geq d_{n - k} \geq \ldots \geq d_{n - k - p} \geq n - k \Rightarrow d_{n - k} \geq n - k </tex>, q.e.d.
}}
{{Лемма
|about=
IV3
|statement=
Если импликация <tex>\ (*) </tex> верно верна для некоторой последовательности степеней<tex> d </tex>, то оно верно она верна и для неубывающей последовательности <tex> d' </tex>, мажорирующей её последовательности<tex> d </tex>.
}}
{{Теорема|about=Хватал|statement=Пусть <tex> G </tex> — [[Отношение связности, компоненты связности|связный граф]], количество вершин которого не меньше 3. Упорядочим степени вершин <tex>\ G </tex> по неубыванию.Если <tex>\forall k</tex> верно <tex> (*) </tex>: <tex>(d_k \le k < n/2 \Rightarrow d_{n-k} \ge n-k) </tex>, то <tex> G </tex> — [[Гамильтоновы графы|гамильтонов]].|proof=
Приведем доказательство от противного.
Пусть теорема Хватала не верна, то есть существует граф с числом вершин <tex>\ n \ge 3 </tex>, удовлетворяющий <tex>\ (*) </tex>, но негамильтонов.
==Литература==
* Асанов М,., Баранский В., Расин В. — : ''Дискретная математика — : Графы, матроиды, алгоритмы''
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
