Использование обхода в глубину для поиска мостов

Постановка задачи

Дан неориентированный граф [math] G [/math]. Найти все мосты в [math] G [/math] за время [math] O(|V| + |E|)[/math]

Алгоритм

Теорема:

Пусть [math] T [/math] - дерево обхода в глубину графа [math] G[/math]. Ребро [math] (u, v) [/math] является мостом тогда и только тогда, когда [math] (u, v) \in T[/math] и из вершины [math] v[/math] и любого ее потомка нет обратного ребра в вершину [math] u[/math] или предка [math] u [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \Leftarrow[/math] Удалим [math] (u, v)[/math] из [math] G[/math]. Докажем, что мы не сможем достичь ни одного из предков [math] v [/math] (в частности [math] u [/math]). Докажем этот факт от противного. Пусть это не так, и [math] w[/math] - предпоследняя вершина на пути от [math] v[/math] до ее предка [math]x [/math]. Очевидно, [math] (w, x)[/math] не ребро дерева (в силу единственности пути в дереве). Если [math] (w, x)[/math] - обратное ребро, то это противоречит условию теоремы, так как [math] x[/math] - предок [math] u[/math]. Следовательно мы не достигнем предков [math]v[/math], а значит количество компонент связности увеличилось, что значит ребро [math](u, v)[/math] является мостом. [math] \Rightarrow[/math] Пусть существует удовлетворяющее условию обратное ребро [math](x, w)[/math]. Тогда [math](u, v)[/math] лежит на цикле [math]x \rightsquigarrow v \rightarrow u \rightsquigarrow w \rightarrow x[/math] и не может быть мостом.

[math]\triangleleft[/math]

Функция [math]ret(v)[/math]

Определим функцию [math]ret(v)[/math], где [math]v \in V[/math], как минимум из следущих величин

• [math]enter(v)[/math] время входа в вершину [math]v [/math]
  
• [math]enter(x)[/math], где [math]x[/math] - потомок [math]v[/math]
  
• [math]enter(x)[/math], где [math](w, x)[/math] - обратное ребро, а [math]w[/math] - потомок [math]v[/math] (в нестрогом смысле)
  

Лемма

Лемма:

Ребро [math](u, v)[/math] является мостом тогда и только тогда, когда [math](u, v)[/math] принадлежит дереву обхода в глубину и [math]ret(v) \gt enter(u)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим вершину [math]v[/math] или её потомка. Из них есть обратное ребро обратное в в предка [math]v[/math], тогда и только тогда, когда найдется такой сын [math]t[/math], что [math]ret[t] \le enter[v][/math]. Так как, если [math]ret[t] = enter[v][/math], то это означает, что найдётся обратное ребро, приходящее точно в [math]v[/math]. Если же [math]ret[t] \lt enter[v][/math], то это означает наличие обратного ребра в какого-либо предка вершины [math]v[/math]. Таким образом, если для текущего ребра [math](v, t)[/math] (принадлежащего дереву поиска) выполняется [math]ret[t] \gt enter[v][/math], то это ребро является мостом; в противном случае оно мостом не является.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

[math]ret(v)[/math] = [math]min([/math] [math]enter(v) [/math] [math]enter(p)[/math], [math](v, p),[/math] - обратное ребро [math]ret(u)[/math], [math](v, u)[/math] - ребро дерева [math]) [/math]

[math]\triangleright[/math]

В скобах у вершины [math]u[/math] указаны [math]enter[u][/math] и [math]ret[u][/math]. Мостами будут красные красный 1)[math]enter(v) [/math] По определению функции [math]ret[/math] 2)[math]enter(p)[/math], [math](v, p)[/math] - обратное ребро [math]p[/math] достижима из [math]v[/math] по одному обратному ребру, значит величина [math]ret(v)[/math] не больше [math]enter(p)[/math] 3)[math]ret(u)[/math], [math]u[/math] - потомок [math]v[/math] Так как вершина [math]u[/math] - потомок [math]v[/math], то обратное ребро из ее поддерева является обратным ребром из поддерева [math]v[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Псевдокод

dfs([math] v [/math])
  [math] time \leftarrow time + 1[/math]
  [math]enter[v] \leftarrow time[/math]
  [math]ret[v] \leftarrow time [/math]
  for всех [math]u[/math] смежных с [math]v[/math]
    if [math](v, u)[/math] - обратное ребро
      [math]ret[v] \leftarrow min(ret[v], enter[u])[/math]
    if вершина [math]u[/math] - белая
      dfs(u)
      [math] ret[v] \leftarrow min(ret[v], ret[u]) [/math]
      if [math]ret[u] \gt  enter[v][/math] 
        ребро [math](v, u)[/math] - мост

Источники

1. Сайт e-maxx
2. Свободная энциклопедия - Википедия
3. Визуализация поиска мостов

Литература

Седжвик Роберт. Фундаментальные алгоритмы на C++. Часть 5: Алгоритмы на графах: Пер. с англ./Роберт Седжвик. — СПб.: ООО «ДиаСофтЮП», 2002. — С. 123-128