Коды Грея для перестановок

<wikitex>

Определение:

Коды Грея для перестановок — упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией. Элементарная транспозиция — транспозиция двух соседних элементов. Далее будем называть элементарную транспозицию просто транспозицией.

Примеры кодов Грея для перестановок

$n=2:$        $n=3:$
$\{1, 2\}$          $\{1, 2, 3\}$
$\{2, 1\}$          $\{1, 3, 2\}$
               $\{3, 1, 2\}$
               $\{3, 2, 1\}$
               $\{2, 3, 1\}$
               $\{2, 1, 3\}$

Построение кода Грея для перестановок

Чтобы построить код Грея для перестановки длиной $n$, будем использовать код Грея для перестановки длиной $n - 1$. Для $n = 1$ код Грея выглядит так:

$\{ 1 \}$ — $n!$ различных перестановок, отличных друг от друга в одной транспозиции (очевидно).

Будем строить код Грея для перестановок длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $n = k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Пусть она выглядит так:

$\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k-1}\}$ ,где $a_{i}$ при $i = 1, 2, 3, ..., k$ — элементы перестановки.

Элемент $a_{k}$ запишем в начало этой перестановки:

$\{a_{k}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$

Будем "двигать" этот элемент $a_{k}$ влево, меняя его с соседним:

$\{a_{k}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$ (1)

$\{a_{1}, a_{k}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$ (2)

$\{a_{1}, a_{2}, a_{k}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$

$\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{k}, ..., a_{k - 1}\}$

$..........................$

$\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k}, a_{k - 1}\}$

$\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{k - 1}, a_{k}\}$ (3)

Получим $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):

$\{a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$

Элемент $a_{k}$ записываем в конец и начинаем "двигать" влево, меняя его с правостоящим:

$\{a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}, a_{k}\}$ (4)

$\{a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k}, a_{k - 1}\}$

$..........................$

$\{a_{2}, a_{1}, a_{3}, a_{k}, ..., a_{k - 1}\}$

$\{a_{2}, a_{1}, a_{k}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$

$\{a_{2}, a_{k}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$

$\{a_{k}, a_{2}, a_{1}, a_{3}, ..., a_{k - 1}\}$

Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент $a_{k}$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.

Для каждой перестановки длиной $n = k - 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $a_{k}$ стоит на разных позициях,а если $a_{k}$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1$ (см. (3), (4)). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок — имеют $a_{k}$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, см (3), (4)). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.

Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $f$ и $g$, соединены ребром, если $g$ образуется из $f$ однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

См. также

• Коды Грея
• Комбинаторные объекты
• Гамильтонов путь

Литература

Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург 2003 стр. 39-41