|
|
| Строка 12: |
Строка 12: |
| | | | |
| | Итого, <tex>Cov(\eta, \xi) = E(\xi\eta) - E\xi E\eta </tex> | | Итого, <tex>Cov(\eta, \xi) = E(\xi\eta) - E\xi E\eta </tex> |
| − |
| |
| − | == Замечания ==
| |
| − |
| |
| − | * Если <tex>\eta,\xi\in L^2</tex>, то есть имеют конечный второй момент, то ковариация определена и конечна.
| |
| − | * В гильбертовом пространстве несмещённых случайных величин с конечным вторым моментом <tex>L^2_0 \equiv \{\eta \in L^2 \mid E\eta = 0 \}</tex> ковариация имеет вид <tex>Cov(\eta,\xi) = E[\eta \cdot \xi]</tex> и играет роль скалярного произведения.
| |
| | | | |
| | == Свойства ковариации == | | == Свойства ковариации == |
Версия 08:17, 15 декабря 2011
| Определение: |
| Ковариация случайных величин — мера линейной зависимости случайных величин. |
Вычисление
Обозначается как [math]Cov(\eta, \xi) [/math], где [math]\eta, \xi[/math] - случайные величины.
[math]Cov(\eta, \xi) = E(\xi - E\xi)(\eta - E\eta) = E(\xi\eta - \eta E\xi + E\xi E\eta - \xi E\eta) = [/math]
[math]E(\xi\eta) - E\xi E\eta - E\xi E\eta + E\xi E\eta = E(\xi\eta) - E\xi E\eta [/math]
Итого, [math]Cov(\eta, \xi) = E(\xi\eta) - E\xi E\eta [/math]
Свойства ковариации
- [math]Cov(\eta,\xi) = Cov(\xi,\eta)[/math].
- В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как
- [math]Cov(\eta,\xi) = E[\eta \cdot \xi] - E[\eta] \cdot E[\xi][/math].
- Пусть [math]\eta_1,\ldots, \eta_n[/math] случайные величины, а [math]\xi_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i \eta_i,\; \xi_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j \eta_j[/math] их две произвольные линейные комбинации. Тогда
- [math]Cov(\xi_1,\xi_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j Cov(\eta_i,\eta_j)[/math].
В частности ковариация (в отличие от коэффициента корреляции) не инварианта относительно смены масштаба, что не всегда удобно в приложениях.
- Ковариация случайной величины с собой равна её дисперсии:
- [math]Cov(\eta,\eta) = \mathrm{D}[\eta][/math].
- Если [math]\eta,\xi[/math] независимые случайные величины, то
- [math]Cov(\eta,\xi) = 0[/math].
Обратное, вообще говоря, неверно.
- Неравенство Коши — Буняковского:
- [math]Cov^2(\eta,\xi) \leq \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi][/math].
Ссылки
