Определение поля и подполя, изоморфизмы полей

Расширим понятие кольца: введём обратный элемент [math](F, *, +)[/math] — получим поле

1. абелево по [math]+[/math]
2. [math]F\setminus\{0\}[/math] - абелево по [math]*[/math]
3. дистрибутивно

Примеры:

• Поля: [math]\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}_n^*[/math]
• [math]\mathbb{Q}(x)=\{\frac{p(x)}{q(x)} \mid p,q \in \mathbb{Q}[x]\}[/math]
• [math]\mathbb{Q}(\sqrt{d})=\{a+b\sqrt{d}\mid a,b \in \mathbb{Q}\}[/math]

Мультипликативная группа поля состоит из ненулевых элементов по умножению.

[math]1 \in F[/math]

Все разные [math]\begin{cases} 1 \\ 1 + 1 \\ 1 + 1 + 1 \\ \vdots \end{cases}[/math]

[math]n \cdot 1[/math] — обозначение суммы [math] n \cdot 1 = m \cdot 1 \Rightarrow (n-m) \cdot 1 = 0 [/math]