Эргодическая марковская цепь

Определение:

Марковская цепь называется эргодической, если существует дискретное распределение (называемое эргодическим) [math]\pi = (\pi_1,\pi_2,\ldots )^{\top}[/math], такое что [math]\pi_i \gt 0,\; i \in \mathbb{N}[/math] и [math]\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, \quad \forall i=1,2, \ldots[/math].

Основная теорема об эргодических распределениях

Теорема (Основная теорема об эргодических распределениях):

Пусть [math]\{X_n\}_{n \ge 0}[/math] - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей [math]P = (p_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots[/math]. Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она Неразложима (т.е. цепь Маркова такова, что её состояния образуют лишь один неразложимый класс ); Положительно возвратна (т.е. находится в таком состоянии, выйдя из которого возвращается в него за конечное время); Апериодична (т.е. находится в таком состоянии, которое навещается цепью через промежутки времени, не кратные фиксированному числу). Эргодическое распределение [math]\mathbf{\pi}[/math] тогда является единственным решением системы: [math]\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i = 1,\; \pi_j \ge 0,\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i\, p_{ij},\quad \, j\in \mathbb{N}[/math].

Пример

Пример эргодической цепи

Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монеты. Тогда соответствующая этому эксперименту марковская цепь будет иметь 2 состояния. Рассмотрим матрицу, следующего вида: [math]p_{ij}=0.5, i,j=1,2[/math].

Такая матрица является стохастической, а, значит, корректно определяет марковскую цепь. Такая цепь является эргодической, так как существует эргодическое распределение [math]\pi = (0.5,0.5)^{\top}[/math], такое что [math]\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, i=1,2[/math].

См. также

• Марковская цепь

• Регулярная марковская цепь

Примечания

Пусть [math]\{X_n\}_{n \ge 0}[/math] — цепь Маркова с тремя состояниями [math]\{1,2,3\}[/math], и её матрица переходных вероятностей имеет вид

[math]P = \left( \begin{matrix} 0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.1 & 0.9 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right).[/math]

Состояния этой цепи образуют два неразложимых класса: [math]\{1,2\}[/math] и [math]\{3\}[/math]. В частности, [math]1 \leftrightarrow 2[/math], но [math]1 \not\rightarrow 3[/math] и [math]3 \not\rightarrow 1[/math].

Цепь Маркова, задаваемая матрицей переходных вероятностей

[math] P = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} \right)[/math],

неразложима.

Ссылки

• Эргодическое распределение - Википедия

• Дискретное распределение - Википедия

Литература

Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова" - Издательство "Наука", 1970 г - 129 c.