Суммируемые функции произвольного знака

Пусть f измерима на множестве E.

Напомним:

[math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^+ - \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^- [/math]

Интеграл распространяется так же:

[math] f_+(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \gt 0 \\ 0, & f(x) \le 0 \end{cases} [/math]

[math] f_-(x) = \begin{cases} 0, & f(x) \gt 0 \\ -f(x), & f(x) \le 0 \end{cases} [/math]

Из измеримости следует, что [math] f_+ [/math] и [math] f_- [/math] - также измеримы. Также они неотрицательны.

[math] f = f_+ - f_- [/math]

[math] |f| = f_+ + f_- [/math]

[math] \int\limits_E f_+, \int\limits_E f_- [/math] — определены в пределах [math] f. [/math]

[math] f [/math] суммируема на [math] E [/math], если на нём суммируемы [math] f_+ [/math] и [math] f_- [/math]

[math] \int\limits_E f =(def) \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_- [/math]

Заметим, что по линейности [math] \int\limits_E |f| = \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- [/math]. Тогда [math] |\int\limits_E f | \le \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- = \int\limits_E |f| [/math]

Так как [math] f_{+-} \le |f| [/math], то их суммируемости модуля вытекает суммируемость [math] f_{+-} [/math].

Как следствие определения, получаем, что [math] f [/math] суммируема тогда и только тогда, когда [math] |f| [/math] суммируема. То есть, в теории Лебега нет условно сходящихся интегралов.

Пример: Интеграл Дирихле: [math] \int\limits_0^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} = \frac{\pi}2 [/math] — по Риману, но по Лебегу она не суммируема.

Так как [math] \int\limits_E [/math] определен линейной формулой, то переносятся [math] \sigma [/math]-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для [math] f_+, f_- [/math] и сложить.

Абсолютная непрерывность

Теорема (Абсолютная непрерывность):

Пусть [math] f [/math] — суммируема на [math] E [/math]. Тогда [math] \forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0: \mu A \lt \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| \lt \varepsilon [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \left| \int\limits_A f \right| \le \int\limits_A |f| [/math], то есть достаточно рассмотреть неотрицательные функции. [math] f [/math] — суммируема и неотрицательна. [math] \int\limits_E f \lt + \infty [/math]. По определению, [math] \forall \varepsilon \exists [/math] хорошее [math] e_{\varepsilon} : \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f \lt \varepsilon [/math]. Тогда [math] \overline{e_{\varepsilon}} = E \setminus {e_{\varepsilon}} [/math], и по сигма-аддитивности, [math] \int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}} [/math] [math] \mu e_{\varepsilon} \lt + \infty [/math] (так как [math] e_\varepsilon[/math] — хорошее). [math] |f(x)| \le M_{\varepsilon} [/math] (так как f — ограничена TODO: че? почему ограничена?). [math] \forall B \subset E, \mu B \lt \infty [/math] [math] B = B \cap E = B \cap (\overline{e_{\varepsilon}} \cup e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2 [/math] [math] \int\limits_B f = \int\limits_{B_1} f + \int\limits_{B_2} f \le \int\limits_{B_1} M_\varepsilon d \mu + \int\limits_{e_\varepsilon} f \le M_\varepsilon \mu B_1 + \varepsilon \le M_\varepsilon \mu B + \varepsilon[/math] Итак [math] \forall B \subset E, \mu B \lt + \infty [/math]: [math] \int\limits_B f \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon [/math]. Потребуем, чтобы [math] M_{\varepsilon} \mu B \lt \varepsilon [/math]. Тогда [math] \mu B \lt \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta [/math]. Тогда получается, то для таких [math] B: \int\limits_B f \lt 2 \varepsilon [/math], если [math] \mu B \lt \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} [/math]. Подставляем [math] \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon [/math].

[math]\triangleleft[/math]