Объём n-мерного прямоугольника

<<>>

TODO: ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ

Определение:

[math]\mathbb{R}^n, \Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}[/math]

Определение:

[math]v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)[/math] — объём прямоугольника

Свойства объема прямоугольников в R^n

Выведем три основных свойства объемов прямоугольников:

Свойство 1

Утверждение:

Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] попарно не имеют общих внутренних точек, [math]\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi[/math](прямоугольник), тогда [math]v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math].

[math]\triangleright[/math]

Доказательство основано на следующем тождестве: Если дано какое-то разбиение отрезка [math]a=x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_m=b[/math], то [math]b - a = \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} (x_{k + 1} - x_k)[/math] Далее доказательство полностью аналогично доказательству для многократного интеграла. План: Доказать для разбиения на клетки Обобщить TODO: Неплохо бы написать полное доказательство здесь, хотя казалось бы оно очевидное

[math]\triangleleft[/math]

Свойство 2

Утверждение:

Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] попарно не имеют общих внутренних точек и [math]\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi[/math]. Тогда [math]v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math]

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства заметим, что совокупность прямоугольников — полукольцо множеств(аксиомы проверяются непосредственно). Поэтому, данная формула доказывается по аналогии меры в полукольце, но вместо бесконечной суммы здесь используется конечная. TODO: Доказать

[math]\triangleleft[/math]

Свойство 3

Утверждение:

Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] — прямоугольники, [math]\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j[/math]. Тогда [math]v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math]

[math]\triangleright[/math]

Это свойство тоже доказывается аналогично соответствующему свойству меры в полукольце. TODO: Доказать

[math]\triangleleft[/math]

Ячейки

Хотя совокупность всех прямоугольников и является полукольцом, целесообразно его заузить, а именно:

Определение:

Пусть [math]\bar a = (a_1, \ldots, a_n)[/math], [math]\bar b = (b_1, \ldots, b_n)[/math]. Тогда ячейка [math][\overline a; \overline b) = [a_1; b_1) \times \cdots \times [a_n; b_n)[/math].

Следующие утверждения проверяются непосредственно:

Утверждение:

Пересечение ячеек — ячейка

Утверждение:

Разность ячеек — объединение двух (вообще, конечного числа) дизъюнктных ячеек

Утверждение:

Совокупность ячеек — тоже полукольцо

Но ячеек, так сказать, меньше, чем прямоугольников.

Далее символом [math] \mathcal{R} [/math] будем обозначать полукольцо ячеек.

Утверждение:

[math]v(\Pi)[/math] — конечная полуаддитивная функция на [math]\mathcal{R}[/math] в силу свойств [math] v [/math].

Мера на множестве ячеек

Теорема:

Объём ячейки — [math]\sigma[/math]-аддитивная функция на [math]\mathcal{R}[/math], то есть, мера на этом множестве.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство будет основано на том, что если в [math]\mathbb{R}^n[/math] ограниченное замкнутое множество содержится в некотором объединении открытых множеств, то из такого покрытия можно выделить конечное подпокрытие (это верно, так как [math] \mathbb {R} ^n [/math] — компакт). [math]\Pi = \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j[/math] — дизъюнктны. Нужно доказать, что [math]v(\Pi) = \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j)[/math]. [math]\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j \subset \Pi \Rightarrow [/math] (по второму свойству [math]v[/math]) [math]\sum\limits_{j=1}^p v(\Pi_j) \leq v(\Pi)[/math] Устремляя [math]p\to\infty[/math], получаем, что [math]\sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) \leq v(\Pi)[/math] Осталось доказать противоположное неравенство. [math]v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)[/math] Если на это величину смотреть как на функцию двух переменных, то она будет непрерывна как произведение непрерывных функций. Значит, малое отклонение аргумента приведёт к малому изменению значения функции. [math]\Pi_j \subset \Pi_j^o[/math](открытое). Погружаем [math]\Pi_j[/math] в открытый прямоугольник [math]\Pi_j^o[/math] таким образом, чтобы [math]v(\Pi_j^o) \lt v(\Pi_j) + \frac{\varepsilon}{2^j}[/math]. Это можно сделать по непрерывности [math]v[/math]. В результате получаем, что [math]\Pi\subset\bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o[/math] Определение: [math]\Pi^c[/math] — замыкание ячейки [math]\Pi^o[/math] Утверждение: Замыкание не изменяет объёма Однако, после замыкания множество становится компактом. [math]\Pi^c \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o[/math] В силу свойства компактов, из получившегося покрытия выбираем конечное подпокрытие: [math]\Pi\subset\Pi^c\subset\bigcup\limits_{k=1}^p\Pi_{j_k}^o[/math] По третьему свойству объёма, [math]v(\Pi) = v(\Pi^c) \leq \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}^o) \lt \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}) + \frac\varepsilon{2^{j_k}}[/math] [math]\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) + \varepsilon[/math]. При [math] \varepsilon \rightarrow 0 [/math], [math]\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) [/math], обратное неравенство установлено, и корректность определения меры доказана.

[math]\triangleleft[/math]

<<>>