Теорема Фубини

<<

Цель этого параграфа — установить формулу:

[math] \int\limits_{E \subset \mathbb R^2} f(x_1, x_2) d \lambda_2 = \int\limits_R d \lambda_1 \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d \lambda_1 [/math],

где [math] E(x_1) [/math] — сечение множества [math] E [/math] вертикальной прямой, проходящей через точку [math] x_1 [/math] ([math] E(x_1) = \{ x_2 \in \mathbb R : (x_1, x_2) \in E \} [/math]).

Для некоторых [math] x_1, E(x_1) [/math] может быть пусто.

Принцип Кавальери(?)

Сейчас мы сформулируем и докажем теорему, истоком которой является «метод неделимых» Кавальери. [math] S [/math] - площадь. [math] l [/math] - длина. [math] S(E_2) = \int\limits_a^b l(E(x_1)) d x_1 [/math] . Аналог этой формулы уже встречался нам в геометрических приложениях определенного интеграла.

Теорема:

Пусть [math] E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E \lt + \infty [/math] Тогда: [math] \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) [/math] — измеримое множество. [math] \lambda_1(E(x_1)) [/math] — измеримая на [math] \mathbb R [/math] функция. [math] \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Схема доказательства — такая же, как и с формулой меры подграфика функции — от простого к сложному. 1) [math] E = [a, b] \times [c, d] [/math]. [math] E(x_1) = \begin{cases} [c, d] &, x_1 \in [a, b] \\ \varnothing &, x_1 \notin a, b] \end{cases} [/math] — измеримо. [math] \lambda(E(x_1)) = \begin{cases} d - c &, x_1 \in [a, b] \\ 0 &, x_1 \notin [a, b] \end{cases} [/math] — кусочно-постоянная функция на оси, суммируема. [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = (b - a) (d - c) = \lambda_2 E [/math] Вместо замкнутого прямоугольника можно было рассматривать прямоугольник любого вида, в том числе и ячейку. 2) [math] G [/math] — открытое множество, [math] \lambda G \lt + \infty [/math]. [math] G = \bigcup\limits_n \Delta_n (x_1) [/math] , по 1) [math] \Delta_n (x_1) [/math] — измеримо, а не более, чем счётное объединение измеримых, измеримо. В силу сигма-аддитивности длины/меры Лебега, [math] \lambda_1(G(x_1)) = \sum\limits_n \lambda_1 (\Delta_n(x_1)) [/math]. Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, [math] \lambda_1 [/math] измеримо по [math] x_1 [/math]. [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = [/math] (т. Леви (Но причем тут она? Надо пользоваться сигма-аддитивностью интеграла.)) [math] \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) [/math]. 3) [math] E [/math] — множество типа [math] G_\delta [/math] (не более, чем счётное пересечение открытых множеств). [math] E = \bigcap\limits_n G_n [/math] — открытое, [math] G_{n+1} \subset G_n [/math] ([math] E [/math] — измеримо). По сигма-аддитивности, [math] \lambda_2 E = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_2 (G_n)[/math]. [math]E(x_1) = \bigcap\limits_n G_n(x_1) [/math] — измеримо для любого [math] x_1 [/math]. [math] \lambda_1 (E(x_1)) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_1 (G_n(x_1)) [/math] — тоже измеримо(как предел измеримой функции). По теореме Лебега о мажорируемой сходимости: [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (G_n(x_1)) d x_1 [/math]. [math] \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E) [/math] 4) [math] E [/math] — нульмерно. Представим [math] E [/math] как пересечение убывающих открытых множеств: [math] E = \bigcap\limits_n G_n, G_{n + 1} \subset G_n [/math]. Для всех [math] G_n [/math] теорема уже доказана. Тогда [math] E(x1) = \bigcap\limits_n G_n(x) [/math] является пересечением измеримых множеств, значит, оно измеримо. Множество Лебега [math] E(f \le a) [/math] функции [math] f = \lambda_1 (E(x_1)) [/math] тоже будет измеримо при любом [math] a [/math] как пересечение измеримых множеств: [math] E(f \le a) = \bigcap\limits_n G_n(f \le a) [/math]. По теореме Лебега о мажорируемой сходимости (так же, как и в 3), более того, похоже, нульмерное множество - вообще частный случай [math] G_\delta [/math]), равенство выполняется. 5) [math] E [/math] — произвольное измеримое множество. По теореме, которой у нас не было(аналогично теореме про [math] E = F_\sigma \cup A [/math]), подбираем множество [math] K [/math] типа [math] G_\delta [/math] так, чтобы [math] E \subset K [/math] и [math] \lambda_2(K \setminus E) = 0 [/math]. Тогда [math] E(x_1) = K(x_1) \setminus (K \setminus E)(x_1) [/math], а почти все сечения множества [math] K \setminus E [/math], по пункту 4, имеют меру 0. Следовательно, сечения [math] E(x_1) [/math] измеримы и [math] \lambda_1 E(x_1) = \lambda_1 K(x_1) [/math] для почти всех [math] x_1 [/math]. Из этого следует, что [math] \lambda_1 E(x_1) \sim \lambda_1 K(x_1) [/math], значит, она тоже измерима. Наконец, [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E (x_1) d x_1 = \int\limits_{\mathbb R} K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = \lambda_2 E [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (следствие):

на [math] \mathbb R:\ y = f(x) \gt 0 [/math]. [math] G(f) [/math] — подграфик, измерим. Тогда [math] f [/math] — измерима.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] G(f) [/math] — измерим. Применяем теорему: [math] E = G(f), E(x_1) = [0, f(x_1)] [/math] — измеримое. По теореме, функция [math] \lambda_1 E(x_1) [/math] измерима и равна [math] f(x_1) [/math]. Значит, [math] f [/math] — измеримая функция.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Фубини

Теорема (Фубини):

Пусть [math] E \subset \mathbb R^2, f: E \to \mathbb R [/math] — измерима. [math] \int\limits_E |f| d \lambda_2 \lt + \infty [/math] ([math] f [/math] — суммируема). Тогда для почти всех [math] x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) [/math] будет суммируемой на [math] E(x_1) [/math] и [math] \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 [/math] (формула повторного интегрирования)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] f = f_+ - f_- [/math], по линейности интеграла достаточно рассмотреть [math] f \ge 0 [/math]. [math] f [/math] суммируема, неотрицательна, поэтому можно рассмотреть подграфик [math] f [/math]: [math] G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \} [/math]. Пользуясь принципом Кавальери (он был доказан нами для одномерных сечений, но легко переносится на сечения любой размерности, в нашем случае, на двумерные), получаем: [math] \lambda_3 G = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_2(E(x_1))dx_1 [/math]. Для любого(или почти любого?) [math] x_1 [/math], можно рассмотреть подграфик измеримой(почему?) (суммируемой(почему?)) функции [math] f_{x_1}(x_2) [/math]. Воспользуемся теоремой о мере подграфика: [math] \lambda_2 E(x_1) = \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2)dx_2 [/math]. Но по этой же теореме, [math] \lambda_3 G = \int\limits_E f d\lambda_2 [/math]. Отсюда получаем требуемое равенство. (Неформальное доказательство от Н.Ю. Додонова: Соответствующий интеграл по [math] x, y [/math] есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями, параллельными [math] Oyz [/math]. Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может делаться с помощью интеграла, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x. Отсюда появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах).

[math]\triangleleft[/math]

<<