Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n)) — различия между версиями
Строка 12: | Строка 12: | ||
Первый класс состоит из состояния <tex>A</tex>, а второй из эквивалентных состояний <tex>B</tex> и <tex>C</tex>. | Первый класс состоит из состояния <tex>A</tex>, а второй из эквивалентных состояний <tex>B</tex> и <tex>C</tex>. | ||
= Алгоритм = | = Алгоритм = | ||
− | + | Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом. | |
# Первоначальное разбиение множества состояний {{---}} класс допускающих состояний и класс недопускающих состояний. | # Первоначальное разбиение множества состояний {{---}} класс допускающих состояний и класс недопускающих состояний. | ||
− | # | + | # Меньший из них помещается в очередь. |
# Из очереди извлекается класс, далее именуемый как сплиттер. | # Из очереди извлекается класс, далее именуемый как сплиттер. | ||
# Перебираются все символы из алфавита <tex>\Sigma</tex>, где <tex>c</tex> {{---}} текущий символ. | # Перебираются все символы из алфавита <tex>\Sigma</tex>, где <tex>c</tex> {{---}} текущий символ. | ||
Строка 27: | Строка 27: | ||
<tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА. | <tex>P</tex> {{---}} разбиение множества состояний ДКА. | ||
<tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА. | <tex>R</tex> {{---}} класс состояний ДКА. | ||
− | <tex> | + | if <tex> |F| \le |Q \setminus F|</tex> |
+ | <tex>W</tex>.push(<tex>F</tex>) | ||
+ | else | ||
+ | <tex>W</tex>.push(<tex>Q \setminus F</tex>) | ||
<tex>P \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}</tex> | <tex>P \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}</tex> | ||
while not <tex>W</tex>.isEmpty() | while not <tex>W</tex>.isEmpty() | ||
Строка 37: | Строка 40: | ||
if <tex> |R_1| \ne 0</tex> and <tex>|R_2| \ne 0</tex> | if <tex> |R_1| \ne 0</tex> and <tex>|R_2| \ne 0</tex> | ||
replace <tex>R</tex> in <tex>P</tex> with <tex>R_1</tex> and <tex>R_2</tex> | replace <tex>R</tex> in <tex>P</tex> with <tex>R_1</tex> and <tex>R_2</tex> | ||
− | + | if <tex>R</tex> in <tex>W</tex> | |
− | <tex>W</tex> | + | replace <tex>R</tex> in <tex>W</tex> with <tex>R_1</tex> and <tex>R_2</tex> |
else | else | ||
− | <tex>W</tex>.push(<tex>R_2</tex>) | + | if <tex> |R_1| \le |R_2|</tex> |
+ | <tex>W</tex>.push(<tex>R_1</tex>) | ||
+ | else | ||
+ | <tex>W</tex>.push(<tex>R_2</tex>) | ||
==Время работы алгоритма== | ==Время работы алгоритма== |
Версия 23:57, 13 февраля 2012
Содержание
Постановка задачи
Пусть дан автомат, распознающий определенный язык. Требуется найти эквивалентный автомат с наименьшим количеством состояний.
Минимизация ДКА
Понятие эквивалентности состояний позволяет объединить состояния в классы следующим образом.
- Все состояния в классе эквивалентны.
- Любые два состояния, выбранные из разных класов, неэквивалентны.
Таким образом, основная идея минимизации ДКА состоит в разбиении множества состояний на классы эквивалентности.
Пример минимизации ДКА
Первый класс состоит из состояния
, а второй из эквивалентных состояний и .Алгоритм
Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом.
- Первоначальное разбиение множества состояний — класс допускающих состояний и класс недопускающих состояний.
- Меньший из них помещается в очередь.
- Из очереди извлекается класс, далее именуемый как сплиттер.
- Перебираются все символы из алфавита , где — текущий символ.
- Все классы текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу переходят в сплиттер, а второй из всех оставшихся.
- Те классы, которые разбились на два непустых подкласса, заменяются этими подклассами в разбиении, а также меньший из двух подклассов добавляется в очередь.
- Пока очередь не пуста, алгоритм выполняет п.3 – п.6.
Псевдокод
— множество состояний ДКА. — множество терминальных состояний. — очередь. — разбиение множества состояний ДКА. — класс состояний ДКА.
if.push( ) else .push( ) while not .isEmpty() .pop( ) for all for all in if and replace in with and if in replace in with and else if .push( ) else .push( )
Время работы алгоритма
Благодаря системе добавления классов состояний в очередь, каждое ребро будет рассмотрено не более чем
раз. А так как ребер у нас порядка то получаемЛитература
- Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 177 — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
- J. E. Hopcroft. An n log n algorithm for minimizing states in a finite automaton. Technical Report CS-71-190, Stanford University, January 1971.