Алгоритм масштабирования потока

Алгоритм

Пусть дана сеть [math] G [/math], все ребра которой имеют целочисленную пропускную способность. Обозначим за [math] U [/math] максимальную пропускную способность: [math] U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v), \Delta = 2^{\lfloor\log_2U\rfloor} [/math]. Обозначим количество вершин за [math] n [/math], а количество ребер за [math] m [/math].

Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным.

На каждой итерации найдем увеличивающие пути в дополняющей сети с пропускной способностью, не меньшей [math] \Delta [/math], и увеличим поток вдоль них.

Оценка времени работы

Утверждение:

Время работы алгоритма — [math] O(E^2 \log U) [/math].

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] S = {2^log_2U, \ldots, 2^k, \ldots, 2, 1, 0} [/math] — множество уровней. Лемма (1): Максимальный поток в сети [math] G [/math] ограничен сверху значением [math] |f_k| + 2^k m [/math], где [math] |f_k| [/math] - значение потока Лемма (2): Количество увеличивающих путей на [math] k [/math]-ом уровне не превосходит [math] 2m [/math] Доказательство: [math]\triangleright[/math] Следует из предыдущей леммы. Каждый увеличивающий путь на [math] k [/math]-ом уровне имеет пропускную способность не меньше [math] 2^k [/math]. [math]\triangleleft[/math] Лемма (3): Количество увеличивающих путей не превышает [math] O(m logU) [/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] Следует из предыдущей леммы и факта, что количество уровней — [math] log_2U [/math]. [math]\triangleleft[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Псевдокод

Max_Flow_By_Scaling(G,s,t)
    [math]f \leftarrow 0[/math]
    [math]\Delta \leftarrow 2^{\lfloor\log_2U\rfloor}[/math]
    while [math]\Delta \geq 1[/math]
        do while в [math]G_f[/math] существует путь [math]s-t[/math] с пропускной способностью не меньшей [math]\Delta[/math]
               do [math]P\leftarrow[/math] путь с пропускной способностью не меньшей [math]\Delta[/math]
                  [math]\delta \leftarrow \min\{c_{ij}\colon(i,j)\in P\}[/math]
                  увеличить поток по рёбрам [math]P[/math] на [math]\delta[/math]
                  обновить [math]G_f[/math]
                  [math]f \leftarrow f + \delta[/math]
           [math]\Delta \leftarrow \Delta / 2[/math]
    return [math]f[/math]

Литература

• Olivier Juan, Yuri Boikov: Capacity Scaling for Graph Cuts in Vision
• Algorithm Tutorials. Maximum Flow: Augmenting Path Algorithms Comparison
• Андрей Станкевич: Задача о максимальном потоке