Алгоритм масштабирования потока

Алгоритм

Алгоритм масштабирования потока — алгоритм поиска максимального потока, основывающийся на предположении, что пропускные способности всех ребер выражаются целыми числами. Время работы алгоритма составляет [math] O(\log U) [/math], что может быть много меньше времени работы аналогичных алгоритмов поиска максимального потока.

Пусть дана сеть [math] G [/math], все ребра которой имеют целочисленную пропускную способность. Обозначим за [math] U [/math] максимальную пропускную способность: [math] U = \max\limits_{(u, v) \in E} c(u, v) [/math].

Идея алгоритма заключается в нахождении путей с высокой пропускной способностью в первую очередь, чтобы сразу сильно увеличивать поток по ним, а затем по всем остальным. Для этого воспользуемся масштабом [math] \Delta [/math]. Изначально положим [math] \Delta = 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor} [/math].

На каждой итерации в дополняющей сети находим дополняющие пути с пропускной способностью не меньшей [math] \Delta [/math], увеличиваем поток вдоль них. Уменьшив масштаб [math] \Delta [/math] в [math] 2 [/math] раза, переходим к следующей итерации.

Заметим, что при [math] \Delta = 1 [/math] алгоритм вырождается в алгоритм Эдмондса-Карпа, вследствие чего является корректным.

Количество необходимых увеличений путей, основанных на кратчайших путях, может быть много больше количества увеличений, основанных на путях с высокой пропускной способностью.

Выбор дополняющих путей в порядке длины

Выбор пути с высокой пропускной способностью в первую очередь

Оценка времени работы

Утверждение:

Время работы алгоритма — [math] O(E^2 \log U) [/math].

[math]\triangleright[/math]

В ходе выполнения алгоритма масштаб [math] \Delta [/math] принимает следующие значения: [math] S = \{2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}, \ldots, 2^k, \ldots, 2, 1, 0\} [/math]. Тогда [math] |S| = O(\log U) [/math] — количество итераций алгоритма. Лемма (1): Максимальный поток в сети [math] G [/math] ограничен сверху значением [math] |f_k| + 2^k E [/math], где [math] |f_k| [/math] — значение потока при масштабе [math] \Delta = 2^k [/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] Разрез [math] C_k [/math] В конце итерации с масштабом [math] \Delta = 2^k [/math], сеть [math] G_{f_k} [/math] может быть разбита на два непересекающихся множества [math] A_k [/math] и [math] \overline{A_k} [/math]. То есть образуется разрез [math] C_k = \langle A_k, \overline{A_k} \rangle [/math]. При этом остаточная пропускная способность каждого ребра, идущего из [math] A_k [/math] в [math] \overline{A_k} [/math], не превосходит масштаба [math] \Delta [/math], а количество таких ребер не превосходит [math] E [/math]. Значит, значение остаточного потока не может превосходить [math] \Delta E = 2^k E [/math]. [math]\triangleleft[/math] Лемма (2): Количество дополняющих путей с масштабом [math] 2^k [/math] не превосходит [math] 2E [/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] Каждый дополняющий путь имеет пропускную способность не меньше [math] 2^k [/math]. На предыдущей итерации дополняющий поток ограничен значением [math] 2^{k + 1} E [/math] по предыдущей лемме. Следовательно, количество дополняющих путей не превосходит [math] 2E [/math]. [math]\triangleleft[/math] Лемма (3): Общее количество увеличивающих путей не превышает [math] O(E \log U) [/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] Следует из предыдущей леммы и факта, что количество итераций — [math] O(\log U) [/math]. [math]\triangleleft[/math] С помощью обхода в ширину каждый дополняющий путь можно найти за время [math] O(E) [/math]. Следовательно, суммарное время работы алгоритма — [math] O(E^2 \log U) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Псевдокод

Max_Flow_By_Scaling(G,s,t)
    [math] f \leftarrow 0 [/math]
    [math] \Delta \leftarrow 2^{\lfloor\log_2U\rfloor} [/math]
    while [math] \Delta \geq 1 [/math]
        do while в [math] G_f [/math] существует увеличивающий путь [math] p [/math] с пропускной способностью не меньшей [math] \Delta [/math]
               do [math] \delta \leftarrow \min\{c(u, v) \colon(u, v) \in p\} [/math]
                  увеличить поток по рёбрам [math] p [/math] на [math] \delta [/math]
                  обновить [math] G_f [/math]
                  [math] f \leftarrow f + \delta [/math]
           [math] \Delta \leftarrow \Delta / 2 [/math]
    return [math] f [/math]

Литература

• Olivier Juan, Yuri Boikov: Capacity Scaling for Graph Cuts in Vision
• Algorithm Tutorials. Maximum Flow: Augmenting Path Algorithms Comparison
• Андрей Станкевич: Задача о максимальном потоке