Сведение задачи LCA к задаче RMQ

Постановка задачи LCA

Определение:

Наименьшим общим предком (least common ancestor) двух узлов [math]u, v[/math] в корневом дереве [math]T[/math] называется узел [math]w,[/math] который среди всех узлов, являющихся предками как узла [math]u,[/math] так и [math]v,[/math] имеет наибольшую глубину.

Пусть дано корневое дерево [math]T.[/math] На вход подаются запросы вида [math](u,\;v),[/math] для каждого запроса требуется найти их наименьшего общего предка.

Алгоритм

Препроцессинг

1) В каждом узле будет храниться глубина узла в корневом дереве [math]T.[/math]

[math]depth(u)= \begin{cases} 0 & u = root(T),\\ depth(v) + 1 & u = son(v). \end{cases}[/math]

2) Запустим обход в глубину из корня, который будет строить список посещений узлов. Глубина текущей вершины добавляется в список при входе в эту вершину, а также после каждого возвращения из её сына.

Запрос

Обозначим [math]I[u][/math] — функция, возвращающая все индексы ячеек в списке глубин [math]depth[start..end][/math], в которых хранится глубина узла [math]u.[/math] Пусть имеется запрос пара узлов [math]u, v.[/math] В результате обхода в глубину получился список глубин вершин, в котором наименьшему общему предку вершин [math]u, v[/math] соответствует минимальная глубина на отрезке [math]depth[I[u], I[v]].[/math] Можно брать любое значение [math]I[u].[/math] Для определённости [math]I[u] \le I[v].[/math]

Доказательство корректности алгоритма

Теорема:

Приведенный выше алгоритм работает верно.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим два узла [math]u, v[/math] корневого дерева [math]T[/math]. Для определенности считаем, что [math]u[/math] является первой при поиске в глубину. Обозначим [math]a[/math] — любой индекс из [math]I[u][/math], [math]b[/math] — из [math]I[v][/math]. На отрезке [math]depth[a..end][/math] ([math]end[/math] — последний элемент в [math]depth[/math]) хранятся узлы посещенные после [math]u[/math] и, быть может, некоторые вершины из поддерева с корнем [math]u[/math](которые имеют глубину больше глубины [math]u[/math]). Аналогично на [math]depth[1..b][/math] — вершины, посещенные до [math]v[/math] и некоторые вершины из поддерева [math]v[/math]. Рассмотрим теперь отрезок [math]depth[a..b][/math]. Поскольку этот отрезок — путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], он проходит через их наименьшего общего предка [math]w[/math](в дереве есть только один простой путь между вершинами). Покажем, что его глубина минимальна на отрезке [math]depth[a..b][/math]. Допустим обратное. Все потомки [math]w[/math] имеют глубину больше. Но тогда получим, что поиск в глубину вышел из поддерева вершины [math]w[/math] раньше, чем посетил вершину [math]v[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Пример

Рассмотрим дерево на рисунке 1. Найдем наименьшего общего предка вершин, помеченных красным цветом. Список глубин, получающийся в результате обхода в глубину - [math][0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1, 0].[/math] Глубина наименьшего общего предка красных вершин равна минимуму на отрезке [math][2, 1, 0, 1].[/math]

рис. 1

Сложность

Для нахождения минимального элемента на отрезке можно использовать дерево отрезков. Длина массива глубин будет равна [math](2n - 1),[/math] т.е. дерево отрезков будет построено за [math]O(n).[/math] Таким образом, препроцессинг работает за [math]O(n).[/math] Время выполнения запроса равно времени запроса минимального элемента на отрезке в дереве отрезков, т.е. [math]O(\log n).[/math]

См.также

• Метод двоичного подъема
• Решение RMQ с помощью разреженной таблицы
• Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера
• Сведение задачи RMQ к задаче LCA

Ссылки

• Наименьший общий предок. Нахождение за O (sqrt (N)) и O (log N) с препроцессингом O (N)