Реализация запроса в дереве отрезков сверху

Данная рекурсивная операция позволяет выполнять запросы на дереве отрезков, причем алгоритм запускается от корня и рекурсивно идет сверху вниз.

Пример

Рассмотрим данный алгоритм на примере задачи RSQ(запрос суммы на отрезке), то есть пусть есть уже построенное дерево отрезков построенное дерево отрезков и задача найти сумму на отрезке [math][a .. b][/math].

Пример дерева отрезков для вычисления сумм

Будем передавать в качестве параметров рекурсий следующие переменные:

• [math]node[/math] — номер(в массиве с деревом отрезков) текущей вершины дерева.
• [math]l[/math], [math]r[/math] — левая и правая границы отрезков, за которые "отвечает" наша вершина.
• [math]a[/math], [math]b[/math] — левая и правая границы запрашиваемого отрезка.

Запустим рекурсивную процедуру от всего отрезка(то есть от корневой вершины).

Для текущего состояния проверяем следующие условия :

• Если текущий отрезок не пересекается с искомым, то возвращаем нулевое значение.

Например: текущий [math][1..2][/math], а искомый [math][3 .. 4][/math];

• Текущий отрезок совпадает, то возвращаем значение в текущей вершине.

Например: текущий и искомый [math][2..3][/math];

• Иначе переходим к рекурсивным вызовам функций от детей вершины. При этом сумма на текущем отрезке равна сумме результатов функций, запущенных от детей.

Замечание:

При передаче новых параметров следует изменять не только границы, за которые отвечает текущая вершина, но и границы запрашиваемого отрезка, чтобы на последующих шагах произошло полное совпадение отрезков.

Так как каждый отрезок разбивается не более, чем на [math]O(\log n)[/math] отрезков (поскольку на каждом уровне дерева может быть не более двух отрезков из разбиения, а всего уровней [math]\log n[/math] ), то данная реализация выполняется за [math]O(\log n)[/math].

Дерево отрезков

Например рассмотрим работу программы на дереве отрезков для элементов [math][1 .. 8][/math]. Пусть запрашиваемая сумма - это отрезок [math][2 .. 5][/math].

• Текущий отрезок [math][1 .. 8][/math], он больше [math][2 .. 5][/math] => переходим по рекурсивным вызовам на [math][1 .. 4][/math] и [math][5 .. 8][/math]

• [math][1 .. 4][/math] выходит за границы[math] [2 .. 5][/math], [math][5 .. 8][/math] выходит за границы [math][2 .. 5][/math] => переходим по рекурсивным вызовам на [math][1 .. 2][/math], [math][3 .. 4][/math] и [math][5 .. 6][/math], [math][7 .. 8][/math].

• [math][1 .. 2][/math] выходит за границы [math][2 .. 5][/math] => переходим в листья 1, 2; [math][3 .. 4][/math] целиком внутри [math][2 .. 5][/math] => возвращаем значение в [math][3 .. 4][/math]; [math][7 .. 8][/math] не пересекается с [math][2 .. 5][/math] => возвращаем нулевое значение, [math][5 .. 6][/math] выходит за границы [math][2 .. 5][/math] => переходим к листьям [math]5[/math] и [math]6[/math]

• лист [math]6[/math] не пересекается с отрезком [math][2 .. 5][/math] => возвращаем нулевое значение, лист [math]5[/math] целиков внутри [math][2 .. 5][/math] => возвращаем значение в листе [math]5[/math].

Реализация

Рассмотрим реализацию рассматриваемой выше задачи RSQ.

 int get_sum (int node, int a, int b)
 {
       l = tree[node].left;
       r = tree[node].right; 
       // [l, r) 
       if [l, r) [math]\bigcap[/math] [a, b) == [math] \varnothing[/math]
           return 0;
       if [l, r) == [a, b)
           return tree[node];
       int m = (l + r) / 2;
       return get_sum (node * 2 + 1, a, min(b, m))
           + get_sum (node * 2 + 2, max(a, m), b);
 } 

Ссылки

MAXimal :: algo :: Дерево отрезков

Дерево отрезков — Википедия

Визуализатор дерева отрезков