Изменения
Нет описания правки
Пусть <tex>B</tex> — произвольное множество, а <tex>U_B = \{1^n | \exists x \in B : |x| = n\}</tex>. Ясно, что <tex>\forall B \Rightarrow U_B \in \mathrm{NP^B}</tex> (легко написать программу, проверяющую сертификат). Построим такое множество <tex>B</tex>, что <tex>U_B \not\in \mathrm{P^B}</tex>.
Рассмотрим последовательность машин Тьюринга <tex>M_i</tex>, имеющих доступ к оракулу языка <tex>B</tex>. Построение множества <tex>B</tex> разделим на счетное стадий шагов. Будем строить <tex>B</tex> так, чтобы на <tex>i</tex>-м шаге й стадии было выполнено: <tex>T(M_i, x) \ge 2^{|x|-1}</tex>. Очевидно, что это утверждение сильнее, чем <tex>U_B \not\in \mathrm{P^B}</tex>. Построение множества <tex>B</tex> разделим на счетное число шагов.* 0-й шагя стадия: <tex>B \leftarrow \emptyset </tex>.* <tex>i</tex>-й шагя стадия. Будем считать, шаги стадии с 0-го й по <tex>(i-1)</tex>-й ю сделаны. Тогда <tex>B</tex> на данном этапе — конечное множество слов. Пусть самое длинное из них состоит из <tex>(n-1)</tex>-го символа. Запустим машину <tex>M_i</tex> на входе <tex>1^n</tex> на <tex>2^{n-1}</tex> шагов. Когда <tex>M_i</tex> требуется ответ оракула языка <tex>B</tex> о слове <tex>x</tex>, будем определять принадлежность этого слова к <tex>B</tex>:
** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> была определена на предыдущем шаге, то она сохраняется;
** если принадлежность <tex>x</tex> множеству <tex>B</tex> не установлена ранее, то далее считаем, что <tex>x \not\in B</tex>.
* если <tex>M_i</tex> приняла слово, то будем считать, что выбросим из <tex>B</tex> все слова вида <tex>\{0,1\}^n</tex>;
* Если <tex>M_i</tex> отклонила слово, то выберем слово <tex>x</tex> длины <tex>n</tex>, принадлежность которого <tex>B</tex> еще не определено. Тогда <tex>x \in B</tex>. Такое слово всегда найдется, так как на предыдущий шагах мы могли сделать не более, чем <tex>2^n-1</tex> запросов к оракулу, а всего слов длины n <tex>2^n</tex>.
Во множестве <tex>B</tex> на каждой стадии содержится конечное число элементов, так как в <tex>B</tex> может быть добавлено не более чем <tex>2^{n-1}+1</tex> слов.
Предположим, что <tex>M_i</tex> отработала менее, чем за время <tex>2^{n-1}</tex>, тогда
