Интерактивные протоколы. Класс IP. Класс AM

Класс IP

Определение:

Интерактивным протоколом, разрешающим язык [math]L[/math], называется абстрактная машина (см. рис. 1), моделирующая вычисления как обмен сообщениями между двумя программами ([math]Prover[/math] и [math]Verifier[/math], далее [math]P[/math] и [math]V[/math] соответственно), такими, что [math]P[/math] заинтересован в том, чтобы [math]V[/math] решил, что слово [math]x[/math] принадлежит языку; [math]P[/math] не ограничен в вычислительной мощности; [math]V[/math] — вероятностная машина Тьюринга; [math]V[/math] ограничен полиномиальным временем работы.

Рис. 1. Схема интерактивного протокола.

Интерактивные протоколы делятся на два типа в зависимости от доступа [math]P[/math] к вероятностной ленте [math]V[/math]:

1. public coins — [math]P[/math] может видеть вероятностную ленту [math]V[/math];
2. private coins — [math]P[/math] не может видеть вероятностную ленту [math]V[/math].

Определение:

[math]IP[f] = \{L|\exists \langle V, P \rangle : [/math] [math]P[/math] не имеет доступа к вероятностной ленте [math]V[/math] (private coins); [math] \forall x \in L \Rightarrow P(V(x) = 1) \ge \frac{2}{3} [/math]; [math] \forall x \notin L \Rightarrow P(V(x) = 1) \le \frac{1}{3} [/math]; число раундов интерактивного протокола [math] O(f(n)), n = |x| [/math].

Язык AM (Arthur–Merlin games) отличается от IP лишь тем, что [math]P[/math] может видеть вероятностную ленту [math]V[/math].

Определение:

[math]AM[f] = \{L|\exists \langle V, P \rangle : [/math] [math]P[/math] может читать вероятностную ленту [math]V[/math] (public coins); [math] \forall x \in L \Rightarrow P(V(x) = 1) \ge \frac{2}{3} [/math]; [math] \forall x \notin L \Rightarrow P(V(x) = 1) \le \frac{1}{3} [/math]; число раундов интерактивного протокола [math] O(f(n)), n = |x| [/math].

Определение:

Если для интерактивного протокола выполняется [math] \forall x \in L \Rightarrow P(V(x) = 1) = 1 [/math], то говорят, что он обладает свойством completeness (его можно достичь).

Определение:

Если для интерактивного протокола выполняется [math] \forall x \notin L \Rightarrow P(V(x) = 1) = 0 [/math], то говорят, что он обладает свойством soundness (его нельзя достичь).

Теорема:

[math]\mathrm{BPP} \subset \mathrm{IP[0]}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]V[/math] сам по себе является вероятностной машиной Тьюринга и поэтому может разрешить язык из [math]\mathrm{BPP}[/math] не прибегая к общению с [math]P[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]\mathrm{NP} \subset \mathrm{IP[1]}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для разрешения языка из [math]\mathrm{NP}[/math] будем использовать следующий протокол: [math]V[/math] будет проверять на принадлежность слова [math]x[/math] используя сертификат, который он запросит у [math]P[/math]. Так как [math]P[/math] неограничен в вычислительной мощности, он может подобрать подходящий сертификат и именно его и сообщит, так как он заинтересован в том, чтобы [math]V[/math] принял слово. Для этого требуется лишь один раунд интерактивного протокола.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]GNI[/math] расшифровывается как Graph Non Isomorphism. Это язык пар неизоморфных друг другу графов. [math]GNI=\{ \langle G, H \rangle, [/math] графы [math]G[/math] и [math]H[/math] не изоморфны [math]\}[/math]

Теорема:

[math]GNI \in \mathrm{IP[1]}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Будем использовать следующий алгоритм для [math]V[/math]: Возьмём случайное число [math]i \in \{0, 1\}[/math] и случайную перестановку [math]\pi[/math] с вероятностной ленты; Создадим новый граф, перемешав вершины графа c номером [math]i[/math] перестановкой [math]\pi[/math]; Перешлём [math]P[/math] полученный граф с просьбой определить, из какого из исходных графов он был получен; Получив ответ, сравним его с правильным ответом — числом [math]i[/math]; Если полученный ответ не совпадёт с [math]i[/math], то вернём [math]0[/math]; Иначе повторим первые пять шагов ещё раз и перейдём к последнему шагу; Если мы ещё не вернули [math]0[/math], то вернём [math]1[/math]. Покажем, что это удовлетворяет ограничениям на [math]\mathrm{IP[1]}[/math]. Во-первых, очевидно, что число раундов не превосходит двух. Рассмотрим теперь случаи [math] \langle G, H \rangle \in GNI[/math]. Тогда [math]G[/math] и [math]H[/math] неизоморфны и [math]P[/math] сможет определить какой граф был перемешан [math]V[/math]. Таким образом, [math]P[/math] сможет два раза подряд вернуть правильный ответ и в итоге [math]V[/math] вернёт 1. [math] \langle G, H \rangle \notin GNI[/math]. Тогда [math]G[/math] и [math]H[/math] изоморфны и [math]P[/math] не сможет определить какой граф был перемешан [math]V[/math]. Так как [math]P[/math] заинтересован в том, чтобы [math]V[/math] принял слово, ему необходимо угадать правильный ответ (иначе [math]V[/math] просто вернёт [math]0[/math]). Так как может быть до двух раундов протокола, вероятность того, что [math]V[/math] примет слово [math]x[/math] когда оно не принадлежит языку (т.е. [math]P[/math] два раза пройдёт проверки [math]V[/math]) равна [math]\frac{1}{4}[/math]. Таким образом, построенный протокол удовлетворяет условию теоремы.

[math]\triangleleft[/math]