Представление простых в виде суммы двух квадратов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 7: Строка 7:
 
|proof=
 
|proof=
 
При <tex>p=2, p=3</tex> доказательство очевидно. Докажем для <tex>p\geqslant 5</tex>. Так как <tex>\mathbb{Z}_p</tex> - поле, то для каждого <tex>x</tex> есть такое <tex>y</tex>, что <tex>xy\equiv 1(mod p)</tex>. Может оказаться, что для некоторых <tex>0\leqslant x\leqslant p-1</tex> выполнено <tex>x=y</tex>. Найдём все такие <tex>x</tex>, что <tex>x^2\equiv 1(mod p)</tex>.  <tex>x^2-1\equiv 0(mod p)  \Rightarrow (x-1)(x+1)\equiv 0(mod p)</tex>. Значит <tex>x\equiv 1(mod p)</tex> или <tex>x\equiv p-1(mod p)</tex>.
 
При <tex>p=2, p=3</tex> доказательство очевидно. Докажем для <tex>p\geqslant 5</tex>. Так как <tex>\mathbb{Z}_p</tex> - поле, то для каждого <tex>x</tex> есть такое <tex>y</tex>, что <tex>xy\equiv 1(mod p)</tex>. Может оказаться, что для некоторых <tex>0\leqslant x\leqslant p-1</tex> выполнено <tex>x=y</tex>. Найдём все такие <tex>x</tex>, что <tex>x^2\equiv 1(mod p)</tex>.  <tex>x^2-1\equiv 0(mod p)  \Rightarrow (x-1)(x+1)\equiv 0(mod p)</tex>. Значит <tex>x\equiv 1(mod p)</tex> или <tex>x\equiv p-1(mod p)</tex>.
 +
 +
Из этого следует, что множество <tex>{2,3,\cdots,p-2}</tex> разбивается на пары такие, что произведение чисел внутри каждой из них сравнимо с <tex>1</tex> по модулю<tex>p</tex>. Таким образом <tex>(p-2)!\equiv 1(mod p)</tex>. Но <tex>p-1\equiv -1(mod p)</tex>. Следовательно <tex>(p-1)!\equiv -1(mod p)</tex>
 
}}
 
}}

Версия 19:20, 30 июня 2010

Эта статья находится в разработке!
Лемма (Вильсон):
Если [math]p[/math] - простое, то [math](p-1)!+1[/math] делится на [math]p[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

При [math]p=2, p=3[/math] доказательство очевидно. Докажем для [math]p\geqslant 5[/math]. Так как [math]\mathbb{Z}_p[/math] - поле, то для каждого [math]x[/math] есть такое [math]y[/math], что [math]xy\equiv 1(mod p)[/math]. Может оказаться, что для некоторых [math]0\leqslant x\leqslant p-1[/math] выполнено [math]x=y[/math]. Найдём все такие [math]x[/math], что [math]x^2\equiv 1(mod p)[/math]. [math]x^2-1\equiv 0(mod p) \Rightarrow (x-1)(x+1)\equiv 0(mod p)[/math]. Значит [math]x\equiv 1(mod p)[/math] или [math]x\equiv p-1(mod p)[/math].

Из этого следует, что множество [math]{2,3,\cdots,p-2}[/math] разбивается на пары такие, что произведение чисел внутри каждой из них сравнимо с [math]1[/math] по модулю[math]p[/math]. Таким образом [math](p-2)!\equiv 1(mod p)[/math]. Но [math]p-1\equiv -1(mod p)[/math]. Следовательно [math](p-1)!\equiv -1(mod p)[/math]
[math]\triangleleft[/math]