Теоремы о временной и ёмкостной иерархиях — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Убрана очевидность)
(Понижение формализма + диагональный метод)
Строка 1: Строка 1:
−
{{Определение
 
−
|id=space_foo
 
−
|definition=Функция <tex>f(x)</tex> называется '''конструируемой по памяти''', если можно вычислить <tex>f(x)</tex> по <tex>x</tex>, используя не более <tex>f(x)</tex> памяти.
 
−
}}
 
−
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=о емкостной иерархии
 
|about=о емкостной иерархии
 
|id=space
 
|id=space
−
|statement=Пусть даны две конструируемые по памяти функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex> такие, что <tex>\lim \limits_{n\rightarrow\infty} \frac{f(n)}{g(n)}=0</tex>, тогда <tex>DSPACE(f(n)) \varsubsetneq DSPACE(g(n))</tex>.
+
|statement=Пусть даны две функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex> такие, что <tex>\lim \limits_{n\rightarrow\infty} \frac{f(n)}{g(n)}=0</tex>, тогда <tex>DSPACE(f(n)) \varsubsetneq DSPACE(g(n))</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 
Понятно, что <tex>DSPACE(f(n)) \subseteq DSPACE(g(n))</tex>, поскольку программа, ограниченная по памяти функцией <tex>f</tex>, проходит ограничение <tex>g</tex>.<br />
 
Понятно, что <tex>DSPACE(f(n)) \subseteq DSPACE(g(n))</tex>, поскольку программа, ограниченная по памяти функцией <tex>f</tex>, проходит ограничение <tex>g</tex>.<br />
−
Используя диагональный метод, докажем, что включение строгое. Рассмотрим функцию <tex>h(n)=\sqrt{f(n)g(n)}</tex> и язык <tex>L=\{x\bigm|x(x)\Bigr|_{S\leq h(|x|)}\neq 1\}</tex>, где запись <tex>S\leq h(|x|)</tex> означает, что программа запускается с лимитом памяти <tex>h(|x|)</tex>. Иначе говоря, <tex>L</tex> — это язык программ, которые не допускают собственный код, используя не более <tex>h(|x|)</tex> памяти. Докажем, что <tex>L\in DSPACE(g(n))\setminus DSPACE(f(n))</tex>.<br/>
+
Используя диагональный метод<ref>Суть данного метода заключается в рассмотрении среди набора функций <tex>\{f_r\}</tex> так называемых «диагональных элементов» вида <tex>f_r(r)</tex> и требовании неравенства их некоторой другой функции (в данном случае тождественно равной 1).</ref>, докажем, что включение строгое. Рассмотрим функцию <tex>h(n)=\sqrt{f(n)g(n)}</tex> и язык <tex>L=\{x\bigm|x(x)\Bigr|_{S\leq h(|x|)}\neq 1\}</tex>, где запись <tex>S\leq h(|x|)</tex> означает, что программа запускается с лимитом памяти <tex>h(|x|)</tex>. Иначе говоря, <tex>L</tex> — это язык программ, которые не допускают собственный код, используя не более <tex>h(|x|)</tex> памяти. Докажем, что <tex>L\in DSPACE(g(n))\setminus DSPACE(f(n))</tex>.<br/>
−
Так как <tex>h(n)=o(g(n))</tex>, то понятно, что <tex>L \in DSPACE(g(n))</tex>. Действительно, для проверки принадлежности программы <tex>x</tex> языку достаточно запустить её с лимитом памяти <tex>h(|x|)</tex> и проверить, что результат не равен 1. Тогда вся проверка будет выполнена с использованием не более <tex>g(|x|)</tex> памяти в силу конструируемости функций <tex>f</tex> и <tex>g</tex> и накладываемых ограничений на память.<br />
+
Так как <tex>h(n)=o(g(n))</tex>, то понятно, что <tex>L \in DSPACE(g(n))</tex>. Действительно, для проверки принадлежности программы <tex>x</tex> языку достаточно запустить её с лимитом памяти <tex>h(|x|)</tex> и проверить, что результат не равен 1. Тогда вся проверка будет выполнена с использованием не более <tex>g(|x|)</tex> памяти в силу накладываемых ограничений.<ref>Вообще говоря, для корректного запуска с лимитом по памяти на функцию <tex>h</tex> дополнительно накладывается условие конструируемости по памяти, т. е. возможность вычислить значение функции по <tex>x</tex>, используя не более <tex>h(x)</tex> памяти, однако часто это условие опускается.</ref><br />
 
Предположим теперь, что <tex>L \in DSPACE(f(n))</tex>. Тогда существует программа <tex>p</tex>, распознающая язык <tex>L</tex> и использующая не более <tex>c \cdot f(n)</tex> памяти. Так как <tex>f(n)=o(h(n))</tex>, то <tex>\exists n_0: \forall n>n_0 \Rightarrow c\cdot f(n)<h(n)</tex>. Будем считать, что <tex>|p|>n_0</tex> (иначе добавим в программу пустые строки, искусственно увеличив её длину), тогда при вызове <tex>p(p)</tex> потребуется не более <tex>h(|p|)</tex> памяти. Выясним, принадлежит ли <tex>p</tex> языку <tex>L</tex>. Допустим, что <tex>p\in L</tex>, тогда <tex>p(p)=1</tex>, значит, <tex>p\notin L</tex> по определению языка <tex>L</tex>. Пусть теперь <tex>p\notin L</tex>. Но тогда <tex>p(p) \ne 1</tex>, следовательно, <tex>p\in L</tex>.
 
Предположим теперь, что <tex>L \in DSPACE(f(n))</tex>. Тогда существует программа <tex>p</tex>, распознающая язык <tex>L</tex> и использующая не более <tex>c \cdot f(n)</tex> памяти. Так как <tex>f(n)=o(h(n))</tex>, то <tex>\exists n_0: \forall n>n_0 \Rightarrow c\cdot f(n)<h(n)</tex>. Будем считать, что <tex>|p|>n_0</tex> (иначе добавим в программу пустые строки, искусственно увеличив её длину), тогда при вызове <tex>p(p)</tex> потребуется не более <tex>h(|p|)</tex> памяти. Выясним, принадлежит ли <tex>p</tex> языку <tex>L</tex>. Допустим, что <tex>p\in L</tex>, тогда <tex>p(p)=1</tex>, значит, <tex>p\notin L</tex> по определению языка <tex>L</tex>. Пусть теперь <tex>p\notin L</tex>. Но тогда <tex>p(p) \ne 1</tex>, следовательно, <tex>p\in L</tex>.
 
Таким образом, язык <tex>L</tex> не может быть из <tex>DSPACE(f(n))</tex>, следовательно, язык из <tex>DSPACE(g(n))\setminus DSPACE(f(n))</tex> найден.}}
 
Таким образом, язык <tex>L</tex> не может быть из <tex>DSPACE(f(n))</tex>, следовательно, язык из <tex>DSPACE(g(n))\setminus DSPACE(f(n))</tex> найден.}}
−
 
−
{{Определение
 
−
|id=time_foo
 
−
|definition=Функция <tex>f(x)</tex> называется '''конструируемой по времени''', если можно вычислить <tex>f(x)</tex> по <tex>x</tex> за время не более <tex>f(x)</tex>.
 
−
}}
 
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|about=о временной иерархии
 
|about=о временной иерархии
 
|id=time
 
|id=time
−
|statement=Пусть даны две конструируемые по времени функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex> такие, <span title="Здесь Sim(n) — время симуляции n шагов одной машины Тьюринга на другой машине" style="border-bottom: 1px dotted; cursor: help;">что</span> <tex>\lim \limits_{n\rightarrow\infty} \frac{Sim(f(n))}{g(n)}=0</tex>, тогда <tex>DTIME(f(n)) \varsubsetneq DTIME(g(n))</tex>.  
+
|statement=Пусть даны две функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex> такие, <span title="Здесь Sim(n) — время симуляции n шагов одной машины Тьюринга на другой машине" style="border-bottom: 1px dotted; cursor: help;">что</span> <tex>\lim \limits_{n\rightarrow\infty} \frac{Sim(f(n))}{g(n)}=0</tex>, тогда <tex>DTIME(f(n)) \varsubsetneq DTIME(g(n))</tex>.  
 
|proof=Доказательство аналогично доказательству [[Теоремы о временной и емкостной иерархиях#space|теоремы о емкостной иерархии]].
 
|proof=Доказательство аналогично доказательству [[Теоремы о временной и емкостной иерархиях#space|теоремы о емкостной иерархии]].
 
}}
 
}}
 +
 +
=== Замечания ===
 +
<references />
  
 
[[Категория:Теория сложности]]
 
[[Категория:Теория сложности]]

Версия 17:05, 4 июня 2012

Теорема (о емкостной иерархии):
Пусть даны две функции [math]f[/math] и [math]g[/math] такие, что [math]\lim \limits_{n\rightarrow\infty} \frac{f(n)}{g(n)}=0[/math], тогда [math]DSPACE(f(n)) \varsubsetneq DSPACE(g(n))[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Понятно, что [math]DSPACE(f(n)) \subseteq DSPACE(g(n))[/math], поскольку программа, ограниченная по памяти функцией [math]f[/math], проходит ограничение [math]g[/math].
Используя диагональный метод[1], докажем, что включение строгое. Рассмотрим функцию [math]h(n)=\sqrt{f(n)g(n)}[/math] и язык [math]L=\{x\bigm|x(x)\Bigr|_{S\leq h(|x|)}\neq 1\}[/math], где запись [math]S\leq h(|x|)[/math] означает, что программа запускается с лимитом памяти [math]h(|x|)[/math]. Иначе говоря, [math]L[/math] — это язык программ, которые не допускают собственный код, используя не более [math]h(|x|)[/math] памяти. Докажем, что [math]L\in DSPACE(g(n))\setminus DSPACE(f(n))[/math].
Так как [math]h(n)=o(g(n))[/math], то понятно, что [math]L \in DSPACE(g(n))[/math]. Действительно, для проверки принадлежности программы [math]x[/math] языку достаточно запустить её с лимитом памяти [math]h(|x|)[/math] и проверить, что результат не равен 1. Тогда вся проверка будет выполнена с использованием не более [math]g(|x|)[/math] памяти в силу накладываемых ограничений.[2]
Предположим теперь, что [math]L \in DSPACE(f(n))[/math]. Тогда существует программа [math]p[/math], распознающая язык [math]L[/math] и использующая не более [math]c \cdot f(n)[/math] памяти. Так как [math]f(n)=o(h(n))[/math], то [math]\exists n_0: \forall n\gt n_0 \Rightarrow c\cdot f(n)\lt h(n)[/math]. Будем считать, что [math]|p|\gt n_0[/math] (иначе добавим в программу пустые строки, искусственно увеличив её длину), тогда при вызове [math]p(p)[/math] потребуется не более [math]h(|p|)[/math] памяти. Выясним, принадлежит ли [math]p[/math] языку [math]L[/math]. Допустим, что [math]p\in L[/math], тогда [math]p(p)=1[/math], значит, [math]p\notin L[/math] по определению языка [math]L[/math]. Пусть теперь [math]p\notin L[/math]. Но тогда [math]p(p) \ne 1[/math], следовательно, [math]p\in L[/math].

Таким образом, язык [math]L[/math] не может быть из [math]DSPACE(f(n))[/math], следовательно, язык из [math]DSPACE(g(n))\setminus DSPACE(f(n))[/math] найден.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (о временной иерархии):
Пусть даны две функции [math]f[/math] и [math]g[/math] такие, что [math]\lim \limits_{n\rightarrow\infty} \frac{Sim(f(n))}{g(n)}=0[/math], тогда [math]DTIME(f(n)) \varsubsetneq DTIME(g(n))[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Доказательство аналогично доказательству теоремы о емкостной иерархии.
[math]\triangleleft[/math]

Замечания

  1. ↑ Суть данного метода заключается в рассмотрении среди набора функций [math]\{f_r\}[/math] так называемых «диагональных элементов» вида [math]f_r(r)[/math] и требовании неравенства их некоторой другой функции (в данном случае тождественно равной 1).
  2. ↑ Вообще говоря, для корректного запуска с лимитом по памяти на функцию [math]h[/math] дополнительно накладывается условие конструируемости по памяти, т. е. возможность вычислить значение функции по [math]x[/math], используя не более [math]h(x)[/math] памяти, однако часто это условие опускается.
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Теоремы_о_временной_и_ёмкостной_иерархиях&oldid=23756»