|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| | {{В разработке}} | | {{В разработке}} |
| − | [[Категория:Математический анализ 1 курс]]
| |
| | | | |
| − | == Утверждение ==
| + | {{Определение |
| − | {{Утверждение | + | |definition = Определим так называемые '''суммы Фейера''', как среднее арифметическое сумм Фурье: |
| − | |statement= | + | <tex>\sigma_n(f,x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_n(f,x)</tex>. |
| − | Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и <tex>m \leq f(x) \leq M</tex>. Тогда <tex>m \leq \frac1{b - a} \int\limits_a^b f \leq M</tex>
| |
| − | |proof=
| |
| − | По условию <tex>m \leq f \leq M</tex>. Проинтегрируем каждую часть:
| |
| − | | |
| − | <tex>\int\limits_a^b m \leq \int\limits_a^b f \leq \int\limits_a^b M</tex>.
| |
| − | | |
| − | Посчитаем значения крайних интегралов и поделим всё на <tex>b - a</tex>.
| |
| − | | |
| − | <tex>m \leq \frac1{b - a}\int\limits_a^b f \leq M</tex>.
| |
| | }} | | }} |
| | | | |
| − | === Следствие ===
| + | Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: <tex>\sigma_n=\frac{1}{n+1}\int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt = \int\limits_{Q}f(x)\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)dt</tex> |
| − | | |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |statement=
| |
| − | Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\exists c \in [a; b]: f(c) = \frac1{b - a}\int\limits_a^b f</tex>
| |
| − | |proof=
| |
| − | Определим <tex>m = \min\limits_{[a; b]} f(x)</tex>, <tex>M = \max\limits_{[a; b]} f(x)</tex>.
| |
| − | | |
| − | Тогда <tex>[m; M]</tex> {{---}} множество значений функции.
| |
| − | | |
| − | По предыдущему утверждению, <tex>\frac1{b - a} \int\limits_a^b f\in [m; M]</tex> и в силу непрерывности <tex>f</tex> по теореме Коши подходящее <tex>c</tex> найдётся.
| |
| − | }}
| |
| | | | |
| | {{Определение | | {{Определение |
| − | |definition= | + | |definition = '''Ядро Фейера''' - <tex>\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)</tex>. |
| − | Объектом исследования этого параграфа является <tex>F(x) = \int\limits_a^x f(t) dt</tex>, <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, <tex>x \in [a, b]</tex>.
| |
| − | Такая функция называется ''интегралом с переменным верхним пределом''.
| |
| | }} | | }} |
| | | | |
| − | == Свойства == | + | Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_k(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex>. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{Q}(f(x+t)-f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сумм Фейера в индивидуальной точке. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера. |
| | | | |
| − | === №1 ===
| |
| | {{Утверждение | | {{Утверждение |
| | |statement= | | |statement= |
| − | <tex>F</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. | + | <tex dpi="150">\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2</tex> |
| | |proof= | | |proof= |
| − | Так как <tex> f </tex> ограничена (в силу [[Определение интеграла Римана, простейшие свойства#utv1 |этого утверждения]]), то <tex>\exists M: \ |f| \leq M</tex>.
| + | <tex dpi="150">\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}(\sin{k+\frac{1}{2}}t\sin{\frac{t}{2}})=</tex> |
| − | | + | <tex dpi="150"> \frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2}(\cos{kt}-\cos{(k+1)t})=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1-\cos{(n+1)t}}{2\sin^2{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2{\frac{n+1}{2}t}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}</tex> |
| − | Тогда <tex>|F(x + \Delta x) - F(x)| = \left|\int\limits_x^{x + \Delta x}f\right| \leqslant M \Delta x \Rightarrow F</tex> {{---}} непрерывна.
| |
| | }} | | }} |
| | | | |
| − | === Теорема Барроу ===
| + | Из этой формулы видно, что ядро Фейера всегда неотрицательно, в отличии от ядра Дирихле. |
| − | {{Теорема
| |
| − | |author=Барроу
| |
| − | |statement=
| |
| − | Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и непрерывна в <tex>x_0 \in (a; b)</tex>.
| |
| − | | |
| − | Тогда <tex>F</tex> дифференцируема в этой точке и её производная равна <tex>F'(x_0) = f(x_0)</tex>.
| |
| − | |proof=
| |
| − | Приращение <tex>F(x_0 + \Delta x) - F(x_0) = \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)dx</tex>
| |
| | | | |
| − | <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0</tex> при <tex>|x - x_0| < \delta </tex> в силу непрерывности в точке <tex>x_0</tex> выполняется <tex>f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon</tex>
| + | {{Определение |
| − | | + | |definition = <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt</tex> называется '''константой Лебега'''. |
| − | Рассмотрим <tex> |\Delta x| < \delta </tex>. По первому утверждению получаем
| |
| − | <tex>\forall |\Delta x| < \delta, \Delta x > 0: \quad | |
| − | f(x_0) - \varepsilon \leqslant \frac1{\Delta x} \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f
| |
| − | \leqslant
| |
| − | f(x_0) + \varepsilon </tex>
| |
| − | | |
| − | Устремляя <tex>\varepsilon \to 0</tex>, получаем <tex>\frac{\Delta F(x_0, \Delta x)}{\Delta x} \to f(x_0)</tex>
| |
| | }} | | }} |
| − |
| |
| − | ==== Важное следствие ====
| |
| − |
| |
| | {{Утверждение | | {{Утверждение |
| − | |id = barrou_sl
| + | |statement= <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex> при больших <tex>n</tex>. |
| − | |statement= | + | |proof= |
| − | Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл.
| + | <tex>\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \int\limits_{0}^{\pi} \frac {|\sin (n+ \frac12)t|}{\sin \frac{t}{2}} dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{\sin t} dt</tex> |
| − | |proof= | |
| − | <tex>F(x) = \int\limits_a^x f \Rightarrow F'(x) = f(x)</tex> | |
| − | | |
| − | В силу непрерывности функции на отрезке и теоремы Барроу <tex>F'(x) =f(x)</tex> {{---}} одна из первообразных.
| |
| | | | |
| − | Значит, неопределённый интеграл существует.
| + | Так как на <tex> [0; \frac{\pi}{2}] </tex> выполняется двойное неравенство <tex> \frac{2}{\pi} t \le \sin t \le t </tex>, то можно рассматривать <tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt </tex>. |
| − | }} | |
| | | | |
| − | == Формула Ньютона-Лейбница == | + | Разобьем интеграл на две части, <tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} </tex>: |
| | | | |
| − | {{Теорема
| + | <tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {(2n + 1) |\sin t|}{t} dt \le const </tex>. |
| − | |about=формула Ньютона-Лейбница
| |
| − | |statement=
| |
| − | Пусть <tex>F</tex> дифференцируема на <tex>[a; b]</tex>, её производная <tex>f</tex> интегрируема на этом же отрезке. Тогда
| |
| − | <tex>F(b) - F(a) = \int\limits_a^b f(x) dx</tex>
| |
| − | |proof=
| |
| − | Так как <tex>f</tex> {{---}} интегрируема, то <tex>\forall \tau \ \int\limits_a^b f </tex> равен пределу интегральных сумм при любой системе промежуточных точек для <tex>\tau</tex>.
| |
| | | | |
| − | Поэтому, если <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение <tex>[a; b]</tex>, то
| + | Оценка сверху: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt = \ln t \bigg|_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \sim \ln n </tex>. |
| | | | |
| − | <tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} F(x_{k + 1}) - F(x_k)</tex>. Так как <tex>F</tex> дифференцируема, то, применив в каждой скобке формулу Лагранжа, получим: | + | Оценка снизу: <tex> \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 (2n+ 1)t}{t} dt = \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} - \frac12 _{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \sim ln n </tex>. |
| | | | |
| − | <tex>F(x_{k + 1}) - F(x_k) = F'(\bar x_k) \Delta x_k = f(\bar x_k) \Delta x</tex>
| + | Отсюда получаем требуемое. |
| − | | |
| − | <tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(\bar x_k) \Delta x_k = \sigma (f, \tau)</tex>
| |
| − | | |
| − | <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая {{---}} постоянна. Значит, в пределе, получаем нужную формулу.
| |
| | }} | | }} |
| | | | |
| − | === Следствие ===
| + | Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще. |
| − | Объединяя эту теорему со [[#barrou_sl|следствием]] к теореме Барроу получаем следующий факт:
| |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |statement=
| |
| − | Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, <tex>F</tex> {{---}} одна из первообразных.
| |
| − | Тогда <tex>\int\limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</tex>
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | == Формулы ==
| |
| − | === Вычисление определенного интеграла по частям ===
| |
| − | | |
| − | <tex>\int\limits_a^b u(x) d v(x) = uv|_a^b - \int\limits_a^b v(x) d u(x)</tex>
| |
| | | | |
| − | === Вычисление определенного интеграла сложной функции ===
| + | Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n</tex>, где <tex>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_n</tex>. Для расходящихся рядов, можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись свойства перманентности и эффективности. К примеру, если <tex>\sigma_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_k \to S</tex>, то <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n = S</tex> по методу средних арифметических. |
| − | | + | В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: <tex>\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x)</tex>(с.а.). В этом и состоит смысл введения сумм Фейера. |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |id = formula2
| |
| − | |statement=
| |
| − | Пусть
| |
| − | | |
| − | <tex>y = f(x), \ x \in (a; b) \quad x = \varphi(t), \ t\in[\alpha; \beta]</tex> | |
| − | | |
| − | <tex>\varphi(t) \in [a; b]</tex>, <tex>b = \varphi(t_2)</tex>, <tex>a = \varphi(t_1)</tex>
| |
| − | | |
| − | Тогда <tex>\quad \exists \varphi'(t) \Rightarrow \int\limits_a^b f(x) d x = \int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi(t)) \varphi'(t) d t</tex>
| |
| − | |proof =
| |
| − | Монотонность <tex>\varphi</tex> не требуется. Это связано с тем, что мы вычисляем определённый интеграл, то есть число.
| |
| − | <!--
| |
| − | ({{TODO|t=что за бреееед????}})
| |
| − | Все нормально
| |
| − | -->
| |
| − | | |
| − | Как правило, в этих формулах считается, что все функции непрерывны.
| |
| − | | |
| − | <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a,b]</tex>. Значит, <tex>\exists F: \ F' = f</tex> | |
| − | | |
| − | По формуле Ньютона-Лейбница, <tex>\int\limits_a^b f = F(b) - F(a)</tex>.
| |
| − | | |
| − | <tex>G(t) = F(\varphi(t))</tex> | |
| − | | |
| − | <tex>G'(t) = F'(x) \varphi'(t) = f(\varphi(t)) \varphi'(t)</tex>
| |
| − | | |
| − | <tex>\int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt =
| |
| − | G(t_2) - G(t_1) =
| |
| − | F(\varphi(t_2)) - F(\varphi(t_1)) =
| |
| − | F(b) - F(a)</tex>
| |
| − | | |
| − | У интересующих интегралов правые части совпали, значит, интегралы равны.
| |
| − | }}
| |
Эта статья находится в разработке!
| Определение: |
| Определим так называемые суммы Фейера, как среднее арифметическое сумм Фурье:
[math]\sigma_n(f,x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_n(f,x)[/math]. |
Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: [math]\sigma_n=\frac{1}{n+1}\int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt = \int\limits_{Q}f(x)\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)dt[/math]
| Определение: |
| Ядро Фейера - [math]\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)[/math]. |
Пользуясь определением, запишем [math]\sigma_k(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt[/math]. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по [math]Q[/math] ядро Фейера: [math]\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1[/math], то есть ядро Фейера нормированно [math]1[/math]. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу [math]\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{Q}(f(x+t)-f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt[/math] — основная формула для исследования сумм Фейера в индивидуальной точке. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.
| Утверждение: |
[math]\Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}})^2[/math] |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]\Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}(\sin{k+\frac{1}{2}}t\sin{\frac{t}{2}})=[/math]
[math] \frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2}(\cos{kt}-\cos{(k+1)t})=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{1-\cos{(n+1)t}}{2\sin^2{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2{\frac{n+1}{2}t}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Из этой формулы видно, что ядро Фейера всегда неотрицательно, в отличии от ядра Дирихле.
| Определение: |
| [math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt[/math] называется константой Лебега. |
| Утверждение: |
[math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}[/math] при больших [math]n[/math]. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \int\limits_{0}^{\pi} \frac {|\sin (n+ \frac12)t|}{\sin \frac{t}{2}} dt = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{\sin t} dt[/math]
Так как на [math] [0; \frac{\pi}{2}] [/math] выполняется двойное неравенство [math] \frac{2}{\pi} t \le \sin t \le t [/math], то можно рассматривать [math] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt [/math].
Разобьем интеграл на две части, [math] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} [/math]:
[math] \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {(2n + 1) |\sin t|}{t} dt \le const [/math].
Оценка сверху: [math] \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt = \ln t \bigg|_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \sim \ln n [/math].
Оценка снизу: [math] \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 (2n+ 1)t}{t} dt = \frac12 \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} - \frac12 _{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (4n+ 2)t}{t} dt \sim ln n [/math].
Отсюда получаем требуемое. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, в отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще.
Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что [math]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \lim\limits_{n \to \infty}S_n[/math], где [math]S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}a_n[/math]. Для расходящихся рядов, можно применять обобщенные методы суммирования, главное, чтобы выполнялись свойства перманентности и эффективности. К примеру, если [math]\sigma_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_k \to S[/math], то [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n = S[/math] по методу средних арифметических.
В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: [math]\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})=\lim\limits_{n \to \infty}S_n(f,x)=\lim\limits_{n \to \infty}\sigma_n(f,x)[/math](с.а.). В этом и состоит смысл введения сумм Фейера.
