Дерево Фенвика для некоммутативных операций

Обычное дерево Фенвика позволяет выполнять некоторую ассоциативную, коммутативную, обратимую операцию [math] G [/math] на отрезке [math] [i; j] [/math] с изменением элементов. Описываемая модификация дает возможность отказаться от коммутативности [math] G [/math].

Обновление элемента

Как и ранее, для обновления элемента в дереве нужно изменить все, что хранит результат операции с этим элементом. Но теперь нельзя просто применить операцию [math] G [/math] (далее используется мультипликативная нотация) ко всем нужным элементам дерева. Пусть мы хотим изменить [math] a_i [/math] на [math] a_i' = a_i \circ d [/math], в данный момент обновляем элемент дерева с индексом [math] j [/math]. Вместо [math] a_{j\&(j+1)} \circ \ldots a_i'\circ \ldots \circ a_j [/math] мы получим [math] a_{j\&(j+1)} \circ \ldots a_i \circ \ldots \circ a_j \circ a_i' [/math] (так как больше нельзя переставлять элементы местами в операции на отрезке, ответ будет неверен).

Решение — нужно удалить отрезок после изменяемого элемента, изменить элемент, после чего добавить этот отрезок снова. Пусть [math] s_i = a_1 \circ a_2 \circ \ldots \circ a_i [/math] — результат выполнения операции на префиксе [math] i [/math], [math] s_{i, j} = s_i^{-1} \circ s_j [/math] — результат ее выполнения на отрезке [math] [i; j] [/math]. Тогда элемент дерева с индексом [math] j [/math] обновляется как [math] f_j \leftarrow f_j \circ s_{i, j}^{-1} \circ d \circ s_{i, j} [/math].

Может показаться, что этот способ не работает, так как [math] s_i [/math], возможно, уже было изменено, а [math] s_j [/math] — еще нет, значит, мы удаляем не тот отрезок, который должны удалить. Убедимся, что на самом деле все обновляется правильно:

[math] s_{i, j}{'} = (s_i \circ d)^{-1} \circ s_j = d^{-1} \circ s_i^{-1} \circ s_j = d^{-1} \circ s_{i, j} [/math];

[math] s_{i, j}^{-1}{'} \circ d \circ s_{i, j}{'} = (d^{-1} \circ s_{i, j})^{-1} \circ d \circ d^{-1} \circ s_{i, j} = s_{i, j}^{-1} \circ d \circ d \circ d^{-1} \circ s_{i, j} = s_{i, j}^{-1} \circ d \circ s_{i, j} [/math], то есть элемент дерева изменяется на правильное значение.

Пусть в дереве [math] n [/math] элементов. Так как для каждого из [math] O(\log(n)) [/math] изменяемых элементов дерева мы совершаем дополнительно запрос суммы на отрезке(а он работает за [math] O(\log(n)) [/math] операций), то асимптотическое время работы обновления элемента ухудшается до [math] O(\log^2(n)) [/math].

Выполнение запроса

Выполнение запроса делается так же, как и в обычном дереве Фенвика, с той лишь разницей, что теперь важен порядок операндов в операции [math] G [/math].