277
правок
Изменения
→Линейное разрешение коллизий
'''Хеш-табли́ца''' {{---}} структура данных, реализующая интерфейс ассоциативного массива. Представляет собой эффективную структуру данных для реализации словарей, а именно, она позволяет хранить пары (ключ, значение) и выполнять три операции: операцию добавления новой пары, операцию поиска и операцию удаления пары по ключу.
=== Введение ===
Существует два основных вида хеш-таблиц: ''с цепочками'' и ''открытой адресацией''. Хеш-таблица содержит некоторый массив <tex>H</tex>, элементы которого есть пары (хеш-таблица с открытой адресацией) или списки пар (хеш-таблица с цепочками).
Выполнение операции в хеш-таблице начинается с вычисления хеш-функции от ключа. Хеш-код <tex>i = h(key)</tex> играет роль индекса в массиве <tex>H</tex>, а зная индекс, мы можем выполнить требующуюся операцию (добавление, удаление или поиск).
Количество коллизий зависит от хеш-функции; чем лучше используемая хеш-функция, тем меньше вероятность их возникновения. При вставке в хеш-таблицу размером 365 ячеек всего лишь 23-х элементов вероятность коллизии превышает 50%<ref>
<tex>p(n) = 1 - 1 \cdot \left(1-\frac{1}{len}\right) \cdot \left(1-\frac{2}{len}\right) \cdots \left(1-\frac{n-1}{len}\right) = { len \cdot len-1 \cdots (len-n+1) \over len^n } </tex> <tex> = { len! \over len^n \cdot (len-n)!},</tex><br>
где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов в хеш-таблице, а <tex>len</tex> {{---}} её размер.</ref> (при равномерном распределении значений хеш-функции)<ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_дней_рождения Парадокс дней рождения {{---}} Википедия]</ref>. Способ разрешения коллизий — важная составляющая любой хеш-таблицы.
Полностью избежать коллизий для произвольных данных невозможно в принципе, и хорошая хеш-функция в состоянии только минимизировать их количество. Но, в некоторых специальных случаях их удаётся избежать. Если все ключи элементов известны заранее, либо меняются очень редко, то можно подобрать хеш-функцию, с помощью которой, все ключи будут распределены по хеш-таблице без коллизий. Это хеш-таблицы с ''прямой адресацией''; в них все операции, такие как: поиск, вставка и удаление работают за <tex>O(1)</tex>.
Если мы поделим число хранимых элементов на размер массива <tex>H</tex> (число возможных значений хеш-функции), то узнаем коэффициент заполнения хеш-таблицы (англ. ''load factor''). От этого параметра зависит среднее время выполнения операций.
=== Хеширование ===
'''Хеширование''' {{---}} класс методов поиска, идея которого состоит в вычислении хеш-кода, однозначно определяемого элементом с помощью хеш-функции, и использовании его, как основы для поиска (индексирование в памяти по хеш-коду выполняется за <tex>O(1)</tex>). В общем случае, однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет в силу того, что количество значений хеш-функций меньше, чем вариантов исходных данных, поэтому существуют элементы, имеющие одинаковые хеш-коды — так называемые коллизии, но если два элемента имеют разный хеш-код, то они гарантированно
различаются. Вероятность возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке качества хеш-функций.
|definition=<tex>U </tex> {{---}} множество объектов (универсум).<br> <tex>h : U \rightarrow S = \mathcal {f} 0 ... m - 1 \mathcal {g}</tex> {{---}} называется хеш-функцией, где множество <tex>S</tex> хранит ключи из множества <tex>U</tex>.<br> Если <tex>x \in U</tex> значит <tex>h(x) \in S</tex> <br> '''Коллизия:''' <tex>\exists x \neq y : h(x) = h(y)</tex>
}}
==== Виды хеширования ====
* По способу хранения:
** Детерминированная хеш-функция.
** Случайная хеш-функция.
=== Свойства хеш-таблицы ===
== Разрешение коллизий ==
=== Открытое хеширование Разрешение коллизий с помощью цепочек ===
[[Файл:open_hash.png|thumb|380px|right|Разрешение коллизий при помощи цепочек.]]
Время, необходимое для вставки в наихудшем случае равно <tex>O(1)</tex>. Это операция выполняет быстро, так как считается, что вставляемый элемент отсутствует в таблице, но если потребуется, то перед вставкой мы можем выполнить поиск этого элемента.
Время работы поиска в наихудшем случае пропорционально длине списка, а если все <tex>n</tex> ключей захешировались в одну и ту же ячейку (создав список длиной <tex>n</tex>) время поиска будет равно <tex>\Theta(n)</tex> плюс время вычисления хеш-функции, что ничуть не лучше, чем использование связного списка для хранения всех <tex>n</tex> элементов.
Удаления элемента может быть выполнено за <tex>O(1)</tex>, как и вставка, при использовании двухсвязного списка.<ref>Анализ хеширования с цепочками, вы можете найти в книге Томаса Кормена: «Алгоритмы. Построение и анализ.»</ref>
=== Закрытое хеширование Линейное разрешение коллизий ===
[[Файл:close_hash.png|thumb|380px|right|Пример хеш-таблицы с открытой адресацией и линейным пробированием.]]
Рассмотрим один из таких методов борьбы с коллизиями.<ref>Другой метод борьбы с коллизиями {{---}} [[Двойное хеширование | двойное хеширование]]</ref>
В массиве <tex>H</tex> хранятся сами пары ключ-значение. Алгоритм вставки элемента проверяет ячейки массива <tex>H</tex> в заданном порядке до тех пор, пока не будет найдена первая свободная ячейка, в неё и будет записан новый элемент. Это позволяет сэкономить память на хранение указателей.
Последовательность, в которой просматриваются ячейки хеш-таблицы, называется последовательностью проб. В общем случае, она зависит только от ключа элемента, то есть это последовательность <tex>h_0(x)</tex>, <tex>h_1(x)</tex>, ...,<tex>h_n</tex><tex>_-</tex><tex>_1</tex><tex>(x)</tex>, где <tex>x</tex> — ключ элемента, а <tex>h_i(x)</tex> — произвольные функции, сопоставляющие каждому ключу ячейку в хеш-таблице. Первый элемент в последовательности, как правило, равен значению некоторой хеш-функции от ключа, а остальные считаются от него каким-нибудь способом. Для успешной работы алгоритмов поиска последовательность проб должна быть такой, чтобы все ячейки хеш-таблицы оказались просмотренными ровно по одному разу. Алгоритм поиска просматривает ячейки хеш-таблицы в том же порядке, что и <ref>[[Поиск свободного места при вставке, пока не найдется элемент с искомым ключом, либо свободная ячейка (что означает отсутствие элемента в хеш-таблице). Удаление элементов в такой схеме несколько затруднено. Можно поступить так: будем помечать каждую ячейку по признаку: удалили мы из неё элемент, или нет. В этом случае, удалением является установка метки «удалён», для соответсвующей ячейки хеш-таблицы. Остаётся только модифицировать поиск (если удалён, то занято) и вставку (если удалён, то пусто) элементов.закрытом хешировании | Поиск свободного места при закрытом хешировании]]</ref>
== Примечания ==
* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» {{---}} «Вильямс», 2011 г. {{---}} 1296 стр. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1
* Дональд Кнут. «Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск» {{---}} «Вильямс», 2007 г. {{---}} 824 стр. {{---}} ISBN 0-201-89685-0
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Хеш-таблица Хеш-таблица {{---}} Википедия]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Хеширование]]
