Действие группы на множестве

Эта статья требует доработки!

1. (исправлено)Необходимо добавить примеры.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Пусть имеется множество [math]X[/math].

Определение:

[math]G[/math] действует на [math]X[/math], если [math] \forall g \in G , x \in X \quad gx \in X [/math] [math] \forall g_1, g_2 \in G , x \in X \quad (g_1 g_2)x = g_1(g_2 x) [/math] [math] \forall x \in X \quad ex = x [/math]

Определение:

Орбита [math]Orb(x)=\{gx \mid g \in G\}[/math]

Определение:

Стабилизатор [math]St(x)=\{g \in G \mid gx = x\}[/math]

Определение:

Фиксатор [math]Fix(g)=\{x \in X \mid gx = x\}[/math]

Утверждение:

Стабилизатор замкнут относительно операции в группе (умножения)

[math]\triangleright[/math]

[math] \forall g_1, g_2 \in G g_1, g_2 \in St(x) \Rightarrow g_1 x = x \And g_2 x = x \Rightarrow (g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = g_1 x=x [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

[math] Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y) [/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow[/math] [math]\exist[/math] [math] g_1, g_2 \in G : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y) [/math]. Аналогично доказываем, что [math]Orb(y) \subseteq Orb(x)[/math], откуда следует, что [math]Orb(x) = Orb(y)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Видно, что бинарное отношение [math]x \mathcal R y \Leftrightarrow Orb(x) = Orb(y)[/math] является отношением эквивалентности на [math]X[/math] и разбивает его на независимые классы эквивалентности − орбиты. Можно поставить задачу о нахождении количества орбит, которая решается с помощью леммы Бернсайда.

Примеры

• Пусть [math]G[/math] - группа с операцией [math]'*'[/math] и множество [math]X = G[/math]. Зададим отображение [math]F: G\times X\to X[/math], такое что [math]f(g,x) = g*x[/math]. Тогда все свойства из определения выполнятся вследствие соответствующих свойств группы. Таким образом группа [math]G[/math] действует на [math]X[/math]. Такое действие называется "действие левыми сдвигами".
• Пусть [math]G[/math] - группа с операцией [math]'*'[/math] и множество [math]X = G[/math]. Зададим отображение [math]F: G\times X\to X[/math], такое что [math]f(g,x) = g*x*g^{-1}[/math]. Все свойства из определения выполнены, следовательно группа [math]G[/math] действует на [math]X[/math]. Такое действие называется "действие сопряжениями".