Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке

Эта статья находится в разработке!

TODO: Прочитайте ну хоть кто-то, это адекватно вообще? А то чукча не читатель, чукча — писатель

В этом параграфе установим ряд (теорем?), гарантирующих, что [math]\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \phi_x(t) D_n(t) dt = 0[/math], что равносильно [math]s_n(f, x) \to s[/math].

Теорема (Дини):

[math]f\in L_1[/math], [math]s \in \mathbb{R}[/math], [math]\int\limits_0^\pi \frac{\phi_x(t)}{t} dt[/math] — конечен. Тогда [math]s = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(f, x)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]s_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \phi_x(t) \frac1{2\pi} \frac{\sin(n + 1/2)t}{\sin t/2} dt[/math] [math]= \int\limits_0^\pi \phi_x(t)\frac1{2\pi} \cos nt dt + \frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi \phi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt[/math] По лемме Римана-Лебега, так как [math]\phi_x(t)[/math] — суммируемая, первое слагаемое при [math]n\to\infty[/math] стремится к 0. Так как, по условию, [math]\int\limits_0^\pi \frac{|\phi_x(t)|}{t} dt \lt +\infty[/math], [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 : \int\limits_0^\delta \frac{|\phi_x(t)|}{t} dt \lt \varepsilon[/math] Тогда [math]\left|\int\limits_0^\pi \phi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} nt dt \right|[/math] [math]\le \int\limits_0^\pi |\phi_x(t)| \frac1{\sin t/2 [\ge t/\pi]} \cdot 1 \cdot dt + [/math] [math]\int\limits_\delta^\pi \phi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2}[/math] [math]\int\limits_0^\delta \le \pi \int\limits_0^\delta \frac{|\phi_x(t)|}{t} dt[/math] [math]\le \pi\varepsilon [/math] по выбору [math]\delta[/math] и по условиям теоремы. Так как [math]\phi_x(t)[/math] — суммируемая, а [math]\frac{\cos t/2}{\sin t/2}[/math] — ограниченная, то, по лемме Римана-Лебега, [math]\int\limits_\delta^\pi \stackrel{n\to\infty}{\to} 0 [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Выведем некоторые следствия

Утверждение (следствие 1 (о четырёх пределах)):

Пусть в точке [math]x[/math] существует [math]f(x \ne 0)[/math] (левый и правый пределы) и [math]\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}[/math], [math]\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}[/math]. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна [math]\frac{f(x+0)+f(x-0)}2[/math]

[math]\triangleright[/math]

Примечание: Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке [math]x[/math] у [math]f[/math] есть производная. Доказательство сводится к проверке условий Дини для [math]s = \frac{f(x+0)-f(x-0)}{2}[/math] [math]\frac{|\phi_x(t)|}t \le \frac{|f(x + t) - f(x + 0)|}{t} + \frac{|f(x - t) - f(x - 0|}{t}[/math] Первое слагаемое стремится на бесконечности к [math]\alpha[/math], второе — к [math]\beta[/math]. Значит, [math]\frac{|\phi_x(t)|}t[/math] ограничена справа от нуля, а значит, суммируемая.

[math]\triangleleft[/math]

{{Утверждение |statement=Пусть [math]x[/math] — регулярная точка функции и [math]s_n(f, x) \to s[/math]. Тогда [math]y = \frac{f(x+0)-f(x-0)}2[/math] |proof= [math]x[/math]— регулярная точка [math]\Rightarrow[/math] по следствию теоремы Фейера,

[math]\delta_n(f, x) \to \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}[/math]

Но суммы Фейера — способ средних арифметических для сумм ряда Фурье.

Способ средних арифметических регулярен: то есть, если [math]s_n\ to s[/math], то и [math]\delta_n\to s[/math].

Тогда, по единству предела, [math]s=\frac{f(x+0)-f(x-0)}{2}[/math]

Утверждение:

[math]f, g \in C[/math], [math]a_n(f)=a_n(g)[/math], [math]b_n(f) = b_n(g)[/math], тогда [math]f=g[/math]

[math]\triangleright[/math]

Действительно, из совпадания коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности [math]C[/math], [math]\delta_n \to f[/math], [math]\delta_n \to g[/math]. Тогда, совпоставляя с равентсом сумм, по единственности предела, [math]f=g[/math]

[math]\triangleleft[/math]