403
правки
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
{{TODO|t=Прочитайте ну хоть кто-то, это адекватно вообще? А то чукча не читатель, чукча {{---}} писатель}}
В этом параграфе установим ряд (теорем?), гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \phi_x(t) D_n(t) dt = 0</tex>, что равносильно <tex>s_n(f, x) \to s</tex>.
{{Теорема
|author=Дини
|statement=<tex>f\in L_1</tex>, <tex>s \in \mathbb{R}</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{\phi_x(t)}{t} dt</tex> {{---}} конечен. Тогда <tex>s = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(f, x)</tex>
|proof=<tex>s_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \phi_x(t) \frac1{2\pi} \frac{\sin(n + 1/2)t}{\sin t/2} dt</tex>
<tex>= \int\limits_0^\pi \phi_x(t)\frac1{2\pi} \cos nt dt + \frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi \phi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} \sin nt dt</tex>
По лемме Римана-Лебега, так как <tex>\phi_x(t)</tex> {{---}} суммируемая, первое слагаемое при <tex>n\to\infty</tex>
стремится к 0.
Так как, по условию, <tex>\int\limits_0^\pi \frac{|\phi_x(t)|}{t} dt < +\infty</tex>,
<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : \int\limits_0^\delta \frac{|\phi_x(t)|}{t} dt < \varepsilon</tex>
Тогда <tex>\left|\int\limits_0^\pi \phi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2} nt dt \right|</tex>
<tex>\le \int\limits_0^\pi |\phi_x(t)| \frac1{\sin t/2 [\ge t/\pi]} \cdot 1 \cdot dt + </tex>
<tex>\int\limits_\delta^\pi \phi_x(t) \frac{\cos t/2}{\sin t/2}</tex>
<tex>\int\limits_0^\delta \le \pi \int\limits_0^\delta \frac{|\phi_x(t)|}{t} dt</tex>
<tex>\le \pi\varepsilon </tex> по выбору <tex>\delta</tex> и по условиям теоремы.
Так как <tex>\phi_x(t)</tex> {{---}} суммируемая, а <tex>\frac{\cos t/2}{\sin t/2}</tex> {{---}} ограниченная, то,
по лемме Римана-Лебега,
<tex>\int\limits_\delta^\pi \stackrel{n\to\infty}{\to} 0 </tex>
}}
Выведем некоторые следствия
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \ne 0)</tex> (левый и правый пределы) и
<tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>,
<tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна
<tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
|proof=
''Примечание'': Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке <tex>x</tex> у <tex>f</tex> есть производная.
Доказательство сводится к проверке условий Дини для <tex>s = \frac{f(x+0)-f(x-0)}{2}</tex>
<tex>\frac{|\phi_x(t)|}t \le \frac{|f(x + t) - f(x + 0)|}{t} + \frac{|f(x - t) - f(x - 0|}{t}</tex>
Первое слагаемое стремится на бесконечности к <tex>\alpha</tex>, второе {{---}} к <tex>\beta</tex>.
Значит, <tex>\frac{|\phi_x(t)|}t</tex> ограничена справа от нуля, а значит, суммируемая.
}}
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>x</tex> {{---}} регулярная точка функции и <tex>s_n(f, x) \to s</tex>.
Тогда <tex>y = \frac{f(x+0)-f(x-0)}2</tex>
|proof=
<tex>x</tex>{{---}} регулярная точка <tex>\Rightarrow</tex> по следствию теоремы Фейера,
<tex>\delta_n(f, x) \to \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}</tex>
Но суммы Фейера {{---}} способ средних арифметических для сумм ряда Фурье.
Способ средних арифметических регулярен: то есть, если <tex>s_n\ to s</tex>, то и <tex>\delta_n\to s</tex>.
Тогда, по единству предела, <tex>s=\frac{f(x+0)-f(x-0)}{2}</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex>f, g \in C</tex>, <tex>a_n(f)=a_n(g)</tex>, <tex>b_n(f) = b_n(g)</tex>, тогда <tex>f=g</tex>
|proof=Действительно, из совпадания коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности <tex>C</tex>, <tex>\delta_n \to f</tex>, <tex>\delta_n \to g</tex>. Тогда, совпоставляя с равентсом сумм, по
единственности предела, <tex>f=g</tex>
}}
