Теорема Жордана

Эта статья находится в разработке!

TODO: читай@рефакторь

[math]\frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos n\alpha + b_n \sin n\alpha) = \sigma(f, x)[/math]

[math]a_n \cos nx + b_n\sin nx = r_n \cos(nx + \phi_n)[/math], где [math]r_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}[/math]

[math]|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le r_n[/math]

Если [math]f\in C[/math], то по теореме Фейера, в [math]L_p[/math], суммы Фейера [math]\sigma_n(f) \rightrightarrows f[/math]. Другим языком, ряд Фурье будет суммироваться к [math]f[/math] методом средних арифметических равномерно.

Значит, согласно теореме Харди, учитывая последнее неравенство, если [math]\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2 \le \frac Mn[/math], то [math]s_n(f) \rightrightarrows f[/math], то есть, ряд фурье будет равномерно сходиться к функции [math]f[/math].

С другой стороны, если составить разность [math]s_n(f,x) - f(x)[/math] и обозначить [math]T_n(x)[/math] — полином степени не выше [math]n[/math] наилучшего приближения в [math]C[/math].

Тогда [math]E_n(f)_C = \|f - T_n\|_C[/math], [math]s_n(T_n, x) = T_n(x)[/math]

Значит, [math]s_n(f, x) - f(x) = (s_n(f,x)-T_n(x)) + (T_n(x) - f_n(x))[/math] [math]= s_n(f - T_n, x) + T_n(x) - f(x) [/math] [применяя интеграл Дирихле] [math]= \int\limits_Q (f(x + t) - T(x + t))D_n(t) dt + T_n(x) - f(x)[/math]

Поэтому, [math]|f_n(f, x) - f(x)|[/math] [math]\le \int\limits_Q |f(x+t) - T_n(x+t)| \cdot |f_n(t)| dt + |T_n(x) - f(x)|[/math]

Итого: [math]\|s_n(t) - f\|_C \le \int\limits_Q |D_n(t)| dt \|f-T_n\| + \|f-T_n\|_C[/math] [math]= \left(\int\limits_Q \|D_n(t)\| dt + 1\right) E(f)_C[/math]

[math]\|s_n(f)-f\|_C \le (e_n + 1) E_n(f)_C[/math], [math]E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0[/math] (по теореме Вейерштрасса)

Если [math]e_nE_n(f)_C \to 0[/math], то [math]\|f_n(x) - f\|_C \to 0 [/math] [math]\iff[/math] [math]f_n(t) \rightrightarrows f [/math] на [math]\mathbb{R}[/math].

Так как [math]e_n \sim \ln n[/math], приходим к очередному признаку:

Утверждение:

[math]E_n(t)_C\ln n \to 0 \Rightarrow \sigma(f)[/math] равномерно сходится к [math]f[/math]

[math]\triangleright[/math]

TODO: зарефакторить сюды то, что выше

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Жордан):

Ряд Фурье [math]2\pi[/math]-периодической функции ограниченной вариации сходится в каждой точке к числу [math]\frac{f(x-0)+f(x+0)}2[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функцию [math]f \in \bigvee[/math], [math]f[/math] — разность двух возрастающих, значит, каждая её точка регулярна. По следствию из теоремы Фейера, [math]\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}[/math]. С другой стороны, для таких функций [math]|a_n(t)| \le \frac Mn[/math], то есть [math]r_n^2 \le \frac {M_1}{n^2}[/math]. Значит, [math]\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2[/math] [math]\le \sum\limits_{k=n}^\infty \frac{M_1}{k^2}[/math] [math]\lt M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty \frac1{k(k-1)}[/math] [math]= M_1 \sum\limits_{k=n}^\infty (\frac1{k-1} - \frac1k)[/math] [math]= \frac{M_1}{n - 1}[/math] Получилось условие теоремы Харди, в силу которой начнёт сходиться ряд Фурье в точке [math]x[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]f\in CV \Rightarrow \forall x f[/math] разкладывается в равномерносходящийся ряд Фурье

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Мы оцениваем [math]\sum r_n^2[/math], которое не зависит от [math]x[/math]. Соединим прошлые результаты параграфа с ограниченной вариацией. TODO: Типа, вот оно и было? TODO: эм, надо как-то прокомментировать, чтоли

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Приведём некоторые примеры на эту тему.

Пример

[math] f(x) = \begin{cases} -1 &, x\in\langle-\pi; 0\rangle\\ 1 &, x \in\langle0; \pi\rangle\\ \end{cases} [/math], [math]2\pi[/math]-периодично продолженная.

[math]\langle\rangle[/math] можно ставить, так как [math]a_1(t) = \frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx [/math] — интеграл Лебега, на множестве нулевой меры его можно менять как душе угодно.

Функция нечётная [math]\Rightarrow[/math] коэффициенты при косинусах нулевые.

[math]b_n(f) = \frac2\pi \int\limits_0^\pi \sin nx dx [/math] [math]=-\frac2\pi \cos nx \big|_0^\pi[/math] [math]=\frac2{\pi n} (1 - (-1)^n)[/math] [math]= \begin{cases} 0 &, n = 2k, k \in \mathbb{Z}\\ \frac{4}{\pi n} &, n = 2k+1, k \in \mathbb{Z}\\ \end{cases}[/math]

Составим ряд Фурье: [math]\sigma(f, x)= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin (2m+1)x[/math]

Хотим найти сумму. Очевидно, [math]f \in \bigvee[/math]

В любом случае, [math]\sigma(f, x) = \frac{f(x+0)+f(x-0)}2[/math] [math]=\begin{cases} 0 &, x = 0\\ -1 &, x \lt 0\\ 1 &, x \gt 0 \end{cases}[/math]

Значение в нуле: [math]\sigma(f, 0) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin 0 = 0[/math]

Значение в [math]\frac\pi2[/math]: [math]\sigma(f, \frac\pi2) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac4{\pi(2m+1)} \sin \frac{(2m+1)\pi}{2}[/math] [math]= \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^m \frac1{2m+1}[/math] [math]= \frac{\pi}{4}[/math]

Пример

[math]f(x) = |x|[/math], [math]x \in \langle-\pi; \pi\rangle[/math], [math]2\pi[/math]-периодически продолженная.

Получаем функцию из класса [math]CV[/math], ряд Фурье равномерно сходится к ней.

Функция чётная, значит, будут только слагаемые с косинусами:

[math]a_n(f) = \frac2\pi \int\limits_Q x \cos nx dx[/math] [math]= \frac{2}{\pi n}\int\limits_Q x d(\sin nx) [/math] [math]= \frac2{\pi n}\left(x\sin x \big|_0^\pi - \int\limits_0^\pi \sin nx dx \right)[/math] [math]= \frac2{\pi n^2} \cos nx \big|_0^\pi[/math] [math]= \frac2{\pi n^2} ((-1)^n - 1)[/math] [math]= \begin{cases} 0 &, n = 2m, m \in \mathbb{Z}\\ -\frac{4}{\pi n^2} &, n = 2m+1, m \in \mathbb{Z}\\ \end{cases} [/math]; [math]a_0 = \frac2\pi \int\limits_0^\pi x dx = \pi[/math]

На [math]\langle-\pi; \pi\rangle[/math], [math]|x| = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\cos(2m+1)x}{(2m+1)^2}[/math]

[math]x = 0: \sum\limits_{m=0}^\infty \frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8[/math]