L 2-теория рядов Фурье

Эта статья находится в разработке!

В теории интеграла мы доказали, что любое пространство [math]L_p[/math]-полное. С другой стороны, в пространстве [math]L_2[/math] можно определить скалярное произведение:

[math]\langle f, g \rangle = \int\limits_Q f\cdot g[/math]

Он конечен в силу неравенства Гёльдера, так как [math]\int\limits_Q |fg| \le \sqrt{\int\limits_Q f^2} + \sqrt{\int\limits_Q g^2}[/math]

Эта операция обладает свойствами скалярного произведения:

• [math]\langle f; f \rangle \le 0[/math] и [math]\langle f; f\rangle = 0 \iff f = 0[/math] почти всюду
• Линейность. [math]\langle \alpha f_1 + \beta f_2 , g \rangle = \alpha\langle f_1, g \rangle + \beta \langle f_2, g\rangle[/math]
• Симметричность. [math]\langle f, g\rangle = \langle g, f \rangle[/math]

Введём норму [math]\|f\| = \sqrt{\langle f, f\rangle} = \sqrt{\int\limits_Q f^2}[/math]

В силу того, что пространство полное и норма порождает скалярное произведение, это пространство Гильберта.

Определение:

[math]L_2[/math]-теория рядов Фурье — теория, в которой ряды Фурье рассматриваются как элементы Гильбертовва пространства и исследуюеся их свойствва как таких объектов.

Центральную роль в [math]L_2[/math]-теории играет ортонормированная система точек(ОНС)

Определение:

[math]e_1, e_2, \ldots, e_n[/math] — ОНС [math]\iff[/math] [math]\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}[/math]

Если в качестве модели взять [math]L_2[/math] и рассмотреть стандартную тригонометрическую систему функций [math]1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \ldots, \sin nx, \cos nx[/math], то окажется, что она — ортогональная.

Попарная ортогональность: [math]\int\limits_Q \cos^2 nx dx = \pi[/math], [math]\int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi[/math], [math]\int\limits_Q 1 = 2\pi[/math].

Тогда ОНС будет: [math]\frac1{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt\pi}, \frac{\cos x}{\sqrt\pi}, \ldots, \frac{\sin nx}{\sqrt\pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt\pi}[/math]

По ортонормированной системе можно составлять формальные ряды в [math]\mathcal{H}[/math].

[math]\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_je_j[/math] в [math]\mathcal{H}[/math] ортогональна: [math]i\ne j \Rightarrow \langle \alpha_1 e_i, \alpha_2 e_j \rangle[/math] = 0

Теорема:

Пусть [math]\sum\limits_{j=1}^\infty a_j[/math] — ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2[/math] сходится. И, если при этом, [math]\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a[/math], то [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмём [math]A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j[/math]. По определению сходимость [math]A_n[/math] равносильна существованию предела [math]A_n[/math]. Так как пространство — Гильбертово, то есть полное, сходимость равносильна сходимости [math]A_n[/math] в себе. Значит, [math]\lim\limits_{n, m \to \infty, m \gt n} A_n - A_m \to 0 \iff \|A_n - A_m\| \to 0 [/math] Пусть [math] m \gt n [/math]. [math]A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j[/math]. [math]\|A_m - A_n\|^2 = \left\langle \sum\limits_{i=n+1}^m a_i, \sum\limits_{j=n+1}^m a_j \right\rangle[/math] [math]= \sum\limits_{i, j = n+1}^m \langle a_i, a_j\rangle[/math] [math]= \sum\limits_{j=n+1}^m \langle a_j, a_j \rangle[/math] [math]= \sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2[/math] По критерию Коши сходимости числовых рядов [math]\sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2 \to 0 \iff \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2 \lt \infty[/math] [math]a = \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \Rightarrow \langle a, a \rangle = \langle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j, \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \rangle \Rightarrow \| a \| = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Возвращаясь к ряду по ортогональной системе [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j[/math], получаем, что он сходится [math]\iff[/math] сходится [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j^2[/math].

На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье.

[math]x = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j[/math], то можно по непрерывности скалярного произведения, можно записать: [math]\langle x, e_k\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j\langle e_j, e_k\rangle = \alpha_k[/math]

То есть, если [math]x[/math] разлагается по ортогональной системе, то необходимо [math]\alpha_j = \langle x, e_j\rangle[/math] — коэффициент Фурье.

Ценральную роль играет изучение ортогональных рядов вида [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j[/math], [math]x \in \mathcal{H}[/math]

В применении к [math]L_2[/math]: [math]f \in L_2[/math], [math]\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac{1}{\sqrt \pi} \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)[/math]

Аналогично, для синусов: [math]\langle f, \frac1\pi \sin nx\rangle = \sqrt\pi b_n(f)[/math]

[math]\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)[/math]

Тогда, получается: [math]\sum\limits_{j=0}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = [/math] (из того, что [math]L_2[/math]) [math]\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx}{\sqrt \pi} ) [/math] [math] = \frac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_0(f) \cos nx + b_0(f) \sin nx[/math], то есть абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.

Применим то, что было сказано выше: [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = \alpha_j[/math] будет сходиться в [math]L_2[/math] [math]\iff[/math] сходится [math]\sum\limits_{j=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))[/math] (забиваем на множитель и одно слагаемое)

Теорема Рисса-Фишера

Теорема (Рисс, Фишер):

[math]e_1, e_2, \ldots, e_n[/math] — ОНС, [math]\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 \lt +\infty[/math], то [math]\exists x \in \mathcal{H}: \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x[/math] , то есть, точка разложится в ряд Фурье.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости [math]\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 \lt +\infty[/math] Возьмём, значит, в качестве [math]x[/math] [math]\sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Легко установить экстремальное свойство частичных сумм:

[math]x = \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n[/math], [math]x\in\mathcal{H}[/math], [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j[/math], [math]s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j[/math]

Экстремальное свойство: [math]\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|[/math], [math]\alpha_k \in \mathbb{R}[/math]

Из него получается неравенство Бесселя: [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2[/math]

Раз ряд состоит из квадратов коэффициентов Фурье, то он всегда сходится. В любом случае, ряд Фурье будет сходиться в [math]\mathcal{H}[/math].

Возникает вопрос: к чему же?

[math]y = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j[/math]. Правда ли что [math]x = y[/math]?

Утверждение:

Не всегда

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим в [math]\mathbb{R}^3[/math] ОНС [math]\{e_1, e_2\}[/math]. [math]x = e_3[/math], [math]\langle x, e_1\rangle = \langle x, e_2\rangle = 0[/math] [math]\langle x, e_1\rangle e_1 + \langle x, e_2\rangle e_2 = 0[/math] [math]\alpha e_1 + \beta e_2 \in \mathcal{L}(e_1, e_2)[/math] Сумма ряда Фурье [math]=0[/math], что [math]\ne e_3[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Таким образом, ряд Фурье всегда сходится, но не всегда к тому, к чему хотелось бы.

Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами:

1. ОНС — замкнута: [math]\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0 \Rightarrow x = 0[/math]
2. ОНС — полная: [math]\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n) = \mathcal{H}[/math]

Теорема:

ОНС — полная [math]\iff[/math] ОНС — замкнутая

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] Пусть ОНС — полная [math]x \in \mathcal{H}[/math], [math]\forall j: \langle x, e_j\rangle = 0[/math]. В силу полноты системы, [math]\forall \varepsilon \gt 0 : \exists \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k : \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| \lt \varepsilon[/math] Но частичная сумма ряда Фурье обладает экстремальным свойством: [math]\|x-s_n\| \le \|\sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k-x\|\lt \varepsilon[/math] [math]\|x - s_{n+p}(x)\| \le \|x - s_n(x)\| \le \varepsilon[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]x[/math] разложжилось в ряд Фурье А раз у [math]x[/math] все коэффициенты нулевые, то сумма ряда — 0. Значит, из полноты вытекает замкнутость. [math]\Leftarrow[/math] Пусть система замкнута [math]\forall x \in \mathcal{H} : \sum\limits_{n=1}^\infty |\langle x, e_n\rangle|^2 \lt +\infty[/math]. По теореме Рисса-Фишера, [math]\exists y = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k[/math] По свойствам ортогональных рядов, [math]\langle y, e_k\rangle = \langle x, e_k\rangle[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\langle y - x, e_k\rangle =0[/math] Но система замкнута [math]\Rightarrow[/math] [math]y - x = 0[/math], то есть, [math]x = y[/math] Значит, [math]x[/math] разложилось в ряд Фурье [math]\Rightarrow[/math] [math]x = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(x)[/math], что и означает полноту системы.

[math]\triangleleft[/math]

Собирая всё это вместе, приходим к финальному результату

Теорема:

[math]e_1, \ldots, e_n[/math] — ОНС, замкнутая(или полная). Тогда [math]\forall x \in \mathcal{H}[/math] разкладывается в ряд Фурье

Теорема:

[math]f \in L_2[/math] [math]\Rightarrow[/math] функция [math]f[/math] разлагается в ряд Фурье по метрике [math]L_2[/math]

[math]x = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\|x\|^2 = \sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2[/math] — уравнение замкнутости.

Оно так называется потому, что если оно выполняется, для любого [math]x[/math], то соответствующая ОНС — замкнутая.

Возьмём вторую точку [math]y = \sum \langle y, e_k\rangle e_k[/math]

Утверждение (Персеваль):

[math]\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle[/math]

Прикладывая всё это к [math]L_2[/math] и вспоминая связь коэффициентов Фурье с коэффициентами в [math]L_2[/math]-теории, приходим к равенству Персеваля:

[math]\int\limits_Q fg = \frac{a_0(f)+a_0(g)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n(f)a_n(g) + b_n(f)b_n(g))[/math]

В частности, [math]\int\limits_Q f^2 = \frac{a_0^2(x)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))[/math]

Далее, в замкнутых системах, [math]\|x-s_n(x)\|^2 = \|\sum\limits_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k\|^2 = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2[/math]

С другой стороны, экстремальное свойство частичных сумм показывает, что

[math]\|x-s_n(x)\| = E_n^2(x)_n[/math]

Итого: [math]E_n^2(x)_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2[/math]

В [math]L_2[/math]: [math]E_n^2(x)_n = \pi\sum\limits_{k=n+1}^\infty (a_k^2(f) + b_k^2(f)) [/math]

Финально: последнее равенство показывает исключительный характер [math]L_2[/math]: в нём наилучшее приближение вычисляется точно с указанием экстремального полинома.