Теорема Лузина-Данжуа — различия между версиями
(пилю) |
(sta) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
не трогать, пилю! --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 12:44, 24 июня 2012 (GST) | не трогать, пилю! --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 12:44, 24 июня 2012 (GST) | ||
{{В разработке}} | {{В разработке}} | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим произвольный тригонометрический ряд: | ||
| + | |||
| + | \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) | ||
| + | |||
| + | |a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le |a_n| + |b_n| | ||
| + | |||
| + | Если \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) сходится, то тригонометрический ряд также будет сходящимся. | ||
| + | |||
| + | Обратное в общем случае неверно, тригонометрический ряд может абсолютно сходиться в бесконечном числе точек, но при этом числовой будет расходиться. | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим, например, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin (\pi n! x), x_k = \frac{\pi}{k!}, n \ge k, sin(\pi n! x_k) = sin(\pi n (n - 1) \dots (k + 1)) = 0, то есть ряд абсолютно сходится. Однако, b_{n!} = 1, и ряд из коэффициентов расходится. \ | ||
| + | |||
| + | Однако, есть важная теорема: | ||
| + | |||
| + | a_n \cos nx + b_n \sin nx = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \cos (nx + \phi_n) | ||
| + | |||
| + | \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \le |a_n| + |b_n| \le \sqrt 2 \sqrt{a_n^2 + b_n^2}, следовательно, ряды \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|) и \sum\limits_1^{\infty} \sqrt{a_n^2 + b_n^2}) равносходятся. | ||
| + | |||
| + | {{Теорема | ||
| + | |author= | ||
| + | Лузин, Данжуа | ||
| + | |statement= | ||
| + | Пусть тригонометрический ряд сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} сходится, то есть ряд будет абсолютно сходящимся. | ||
| + | |proof= | ||
| + | \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n |\cos (nx + \varphi_n)| — сходится для любого x в A, где \lambda A > 0. | ||
| + | |||
| + | r_n \cos^2(nx + \varphi_n) \le r_n |\cos(nx + \varphi_n)| | ||
| + | |||
| + | \alpha(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \cos^2(nx + \varphi_n) — измеримо и конечно на A. | ||
| + | |||
| + | Тогда \exists A_0 \subset A: \lambda A_0 > 0, \alpha(x) — ограничено на A_0 | ||
| + | |||
| + | A = \cup\limits_{n = 1}^{\infty} A(0 \le \alpha(x) \le n), \lambda A > 0 \Rightarrow \lambda A_n \to \lambda A \rightarrow \exists n_0 : \lambda A_{n_0} > 0 | ||
| + | |||
| + | На A_0 \alpha — суммируема, по теореме Б. Леви ряд можно почленно интегрировать. | ||
| + | |||
| + | \int\limits_{A_0} \alpha(x) dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \cos^2(nx + \varphi_{n, x}) = {{TODO|t=какого фига зависимость \phi от x появилась?}} | ||
| + | |||
| + | = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \frac{1 + \cos(2nx + 2\varphi_{n, x}) = | ||
| + | |||
| + | = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac12 r_n \left( \lambda A_0 + \int\limits_{A_0} \cos(\varphi_{n,x}) \cos (2nx) - \int\limits_{A_0} \sin(\varphi_{n,x}) \sin (2nx) \right). Оба интеграла стремятся к нулю по лемме Римана-Лебега, следовательно, разность этих интегралов с некоторого номера больше - \frac12 \lambda A_0 , а значит, n-е слагаемое ряда > \frac12 r_n \rfac12 \lambda A_0. Значит, из сходимости исходного ряда следует сходимость | ||
Версия 13:12, 24 июня 2012
не трогать, пилю! --Дмитрий Герасимов 12:44, 24 июня 2012 (GST)
Рассмотрим произвольный тригонометрический ряд:
\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)
|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le |a_n| + |b_n|
Если \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + |b_n|) сходится, то тригонометрический ряд также будет сходящимся.
Обратное в общем случае неверно, тригонометрический ряд может абсолютно сходиться в бесконечном числе точек, но при этом числовой будет расходиться.
Рассмотрим, например, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin (\pi n! x), x_k = \frac{\pi}{k!}, n \ge k, sin(\pi n! x_k) = sin(\pi n (n - 1) \dots (k + 1)) = 0, то есть ряд абсолютно сходится. Однако, b_{n!} = 1, и ряд из коэффициентов расходится. \
Однако, есть важная теорема:
a_n \cos nx + b_n \sin nx = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \cos (nx + \phi_n)
\sqrt{a_n^2 + b_n^2} \le |a_n| + |b_n| \le \sqrt 2 \sqrt{a_n^2 + b_n^2}, следовательно, ряды \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|) и \sum\limits_1^{\infty} \sqrt{a_n^2 + b_n^2}) равносходятся.
{{Теорема |author= Лузин, Данжуа |statement= Пусть тригонометрический ряд сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} сходится, то есть ряд будет абсолютно сходящимся. |proof= \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n |\cos (nx + \varphi_n)| — сходится для любого x в A, где \lambda A > 0.
r_n \cos^2(nx + \varphi_n) \le r_n |\cos(nx + \varphi_n)|
\alpha(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \cos^2(nx + \varphi_n) — измеримо и конечно на A.
Тогда \exists A_0 \subset A: \lambda A_0 > 0, \alpha(x) — ограничено на A_0
A = \cup\limits_{n = 1}^{\infty} A(0 \le \alpha(x) \le n), \lambda A > 0 \Rightarrow \lambda A_n \to \lambda A \rightarrow \exists n_0 : \lambda A_{n_0} > 0
На A_0 \alpha — суммируема, по теореме Б. Леви ряд можно почленно интегрировать.
\int\limits_{A_0} \alpha(x) dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \cos^2(nx + \varphi_{n, x}) = TODO: какого фига зависимость \phi от x появилась?
\sum\limits_{n=1}^{\infty} r_n \int\limits_{A_0} \frac{1 + \cos(2nx + 2\varphi_{n, x})
= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac12 r_n \left( \lambda A_0 + \int\limits_{A_0} \cos(\varphi_{n,x}) \cos (2nx) - \int\limits_{A_0} \sin(\varphi_{n,x}) \sin (2nx) \right). Оба интеграла стремятся к нулю по лемме Римана-Лебега, следовательно, разность этих интегралов с некоторого номера больше - \frac12 \lambda A_0 , а значит, n-е слагаемое ряда > \frac12 r_n \rfac12 \lambda A_0. Значит, из сходимости исходного ряда следует сходимость
