689
правок
Изменения
м
{{TODO|t=есть мнение, что тут все же много мути. Перечитайте, а}}
Другим языкомДругими словами, ряд Фурье будет суммироваться сходиться к <tex>f</tex> методом равномерно в смысле средних арифметических равномерно.
С другой стороны, если составить разность <tex>s_n(f,x) - f(x)</tex> и обозначитьПусть <tex>T_n(x)</tex> {{---}} полином степени не выше <tex>n</tex> наилучшего приближения <tex> f </tex> в <tex>C</tex>., то:
Тогда <tex>E_n(f)_C = \|f - T_n\|_C</tex>, <tex>s_n(T_n, x) = T_n(x)</tex>
исправил явные недочеты, но с доказательством последней теоремы все равно надо что-то сделать
[[Интеграл Римана-Стилтьеса|<<]][[О почленном интегрировании ряда Фурье|>>]]
{{В разработке}}
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>E_n(t)_C\ln n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \Rightarrow </tex>. Тогда \sigma(f)</tex> равномерно сходится к <tex>f</tex>.
|proof=
{{TODO|t=особенно тут, бред какой-то}}
Если <tex>f\in C</tex>, то по [[теорема Фейера|теореме Фейера]], в <tex>L_p</tex>, суммы Фейера <tex>\sigma_n(f) \rightrightarrows f</tex>.
Значит, <tex>s_n(f, x) - f(x) = (s_n(f,x)-T_n(x)) + (T_n(x) - f_n(x))</tex>
<tex>= s_n(f - T_n, x) + T_n(x) - f(x) = </tex> [(применяя интеграл Дирихле])<tex>= \int\limits_Q (f(x + t) - T(x + t))D_n(t) dt + T_n(x) - f(x)</tex>.
Поэтому, <tex>|f_ns_n(f, x) - f(x)| \le \int\limits_Q |f(x+t) - T_n(x+t)| \cdot |f_n(t)| dt + |T_n(x) - f(x)|</tex>
Итого: <tex>\|s_n(t) - f\|_C \le \int\limits_Q |D_n(t)| dt \|f-T_n\| + \|f-T_n\|_C = \left(\int\limits_Q \|D_n(t)\| dt + 1\right) E(f)_C</tex>
Пусть <tex> \int\limits_Q \|D_n(t)\| dt = l_n </tex>. Тогда <tex>\|s_n(f)-f\|_C \le (e_n l_n + 1) E_n(f)_C</tex>, <tex>E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex> (по теореме Вейерштрасса)
Если <tex>e_nE_nl_n E_n(f)_C \to 0</tex>, то <tex>\|f_nS_n(x) - f\|_C \to 0 </tex> <tex>\iff</tex>
<tex>f_n(t) \rightrightarrows f </tex> на <tex>\mathbb{R}</tex>.
Так как <tex>e_n l_n \sim \ln n</tex>, получаем искомый результат.
}}
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
|proof=
Пусть <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos n\alpha + b_n \sin n\alpha) = \sigma(f, x)</tex>.
Можно представить <tex>a_n \cos nx + b_n\sin nx = </tex> как <tex> r_n \cos(nx + \phi_n)</tex>, где <tex>r_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}</tex>.
Тогда <tex>|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le r_n</tex>.
Cогласно [[Суммирование_расходящихся_рядов#теорема Харди|теореме Харди]], учитывая последнее неравенство, если <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2 \le \frac Mn</tex>,
то <tex>s_n(f) \rightrightarrows f</tex>, то есть, ряд фурье Фурье будет равномерно сходиться к функции <tex>f</tex>.
Рассмотрим функцию <tex>f \in \bigvee</tex>, <tex>f</tex> {{---}} разность двух возрастающих, значит, каждая её точка
<tex>= \frac{M_1}{n - 1}</tex>
Получилось условие теоремы Харди, в силу которой начнёт сходиться ряд Фурье в точке <tex>x</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>f\in CV \Rightarrow </tex> (<tex> f </tex> — непрерывная, ограниченной вариации). Тогда <tex> \forall x: f</tex> раскладывается в равномерносходящийся равномерно сходящийся ряд Фурье.
|proof=
Мы оцениваем <tex>\sum r_n^2</tex>, которое не зависит от <tex>x</tex>. Соединим прошлые результаты параграфа с
{{TODO|t=Типа, вот оно и было?}}
{{TODO|t=эм, надо как-то прокомментировать, чтоли}}
{{TODO|t=Похоже, Николай Юрьевич забил на доказательство этой теоремы.}}
}}
<tex>x = 0: \sum\limits_{m=0}^\infty \frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8</tex>
[[Интеграл Римана-Стилтьеса|<<]][[О почленном интегрировании ряда Фурье|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
