223
правки
Изменения
м
→Теорема Фейера в L_p
[[Пространство L_p(E)|Ранее]] нами уже было доказано, что пространство <tex>C</tex> всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall g\in L_p\exists \varphi \in C : \|g - \varphi\|<\varepsilon</tex>.
<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq</tex>(по [[Интеграл_Фейера|записи интеграла Фейера]] очевидно <tex>\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) = \sigma_n(g - \varphi)</tex>)
<tex>\leq \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p + \underset{\leq \varepsilon}{\underbrace{\|g - \varphi\|_p [\leq \varepsilon] }} + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p </tex>.
По доказанному только что утверждению, <tex> \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p \leq \|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon </tex>; второе слагаемое не превосходит <tex> \varepsilon </tex> по выбору <tex> \varphi </tex>.
Значит, <tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p \leq 2\varepsilon + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p</tex>
