152
правки
Изменения
Нет описания правки
<tex>\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)</tex>
Тогда, получается: <tex>\sum\limits_{j=0}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = </tex> (из того, что <tex>L_2</tex>) <tex>\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx}{\sqrt \pi} ) </tex> <tex> = \frac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} ( a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx)</tex>, то есть, абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.
Применим то, что было сказано выше: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = \alpha_j</tex> будет сходиться в <tex>L_2</tex> <tex>\iff</tex> сходится ряд <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex> (забиваем на множитель и одно слагаемое).
