Алгоритм Борувки

Алгоритм Борувки — алгоритм поиска минимального остовного дерева (minimum spanning tree, MST) во взвешенном неориентированном связном графе. Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой.

Описание алгоритма

Пока [math]F[/math] не является деревом

1. Для каждой компоненты связанности находим минимальное по весу ребро, которое связывает вершину из данной компоненты с вершиной, не принадлежащей данной компоненте.
2. Добавим в [math]F[/math] все ребра, которые хотя бы для одной компоненты оказались минимальными.

Получившееся множество [math]F[/math] является минимальным остовным деревом графа [math]G[/math].

Реализация

Graph Boruvka(Graph G) while T.size < n for u [math]\in[/math] G color[u] = 0 minEdge[u] = MAX_EDGE //MAX_EDGE ребро весом бесконечности for u [math]\in[/math] G if !u.color dfs(u, color++) for uv [math]\in[/math] E if u.color != v.color if minEdge[u.component].w < uv.w minEdge[u.component] = uv if minEdge[v.component].w < uv.w minEdge[v.component] = uv) for k [math]\in[/math] K T.addEdge(minEdge[k]) return T;

Вход: граф [math]G = (V, E)[/math]
Выход: минимальный остов [math]F[/math] графа [math]G[/math]
1) [math]F := (V, \varnothing)[/math]
1) Отсортируем [math]E[/math] по весу ребер.
2) Заведем систему непересекающихся множеств (DSU) и инициализируем ее множеством [math]V[/math].
3) Перебирая ребра [math]uv \in EG[/math] в порядке увеличения веса, смотрим, принадлежат ли [math]u[/math] и [math]v[/math] одному множеству. Если нет, то объединяем множества, в которых лежат [math]u[/math] и [math]v[/math], и добавляем ребро [math]uv[/math] к [math]F[/math].

Асимптотика

Сортировка [math]E[/math] займет [math]O(E\log E)[/math].
Работа с DSU займет [math]O(E\alpha(V))[/math], где [math]\alpha[/math] - обратная функция Аккермана, которая не превосходит 4 во всех практических приложениях и которую можно принять за константу.
Алгоритм работает за [math]O(E(\log E+\alpha(V))) = O(E\log E) = O(E\log V^2) = O(E\log V)[/math].

Литература

• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)

См. также

• Алгоритм Прима