Конечная группа

Определение:

Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math].

Таблицы умножения для конечных групп

Таблица умножения (таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

Структура

Пусть [math]\mathbb{A}_n = \{a_1,a_2,\dots,a_n\}[/math] — группа из [math]n[/math] элементов.

Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:

*	a1	a2	...	an
a1	a1a1	a1a2	...	a1an
a2	a2a1	a2a2	...	a2an
...	...	...	...	...
an	ana1	ana2	...	anan

Свойства

Утверждение:

Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы.

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]a,b,c,d \in G[/math]. Тогда [math]ab=d[/math] и [math]ac=d \Rightarrow b=c[/math]. Так как количество клеток в строке равно количеству элементов, то, по принципу Дирихле, каждый элемент группы встречается в строке один раз.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна.

[math]\triangleright[/math]

Таблица симметрична [math]\Rightarrow ab = ba[/math] для любых [math]a,b \in G[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

В простой группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы.

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим элемент [math]x\in G[/math] c порядком [math]n[/math] и подмножество [math]\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace[/math] (все [math]x^k[/math] различны при [math]k\lt n[/math] — в противном случае при [math]x^k=x^m (m\lt k\lt n)\Rightarrow x^{k—m}=e[/math], т.е. [math]n\gt k—m[/math] не является порядком элемента [math]x[/math]). Очевидно, [math]\langle x\rangle[/math] — подгруппа [math]G[/math], изоморфная [math]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math]. По теореме Лагранжа порядок любой подгруппы делит порядок группы. Значит, и [math]n[/math] делит порядок [math]G[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/math].

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим элемент [math]x\in G,\,x\neq e[/math] c порядком [math]n[/math] и подмножество [math]\langle x\rangle=\lbrace e,\,x,\,x^2,\,...,x^{n-1}\rbrace[/math] (все [math]x^k[/math] различны при [math]k\lt n[/math] — см. выше). Очевидно, [math]\langle x\rangle[/math] — подгруппа [math]G[/math], изоморфная [math]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math]. Но тогда [math]n[/math] делит [math]p[/math](как порядок подгруппы) и не равняется единице([math]x^1\neq e[/math]), значит [math]n=p[/math]. Раз порядок конечной подгруппы [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\subseteq G[/math] совпадает с порядком группы, то группа и подгруппа просто совпадают: [math]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\eqsim G[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Примеры таблиц умножения для конечных групп

Ниже перечислены все группы до шестого порядка включительно:

• [math]|G| = 1[/math]

Тривиальная группа

*	e
e	e

• [math]|G| = 2[/math]

Группа вычетов по модулю два относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/math]

+	0	1
0	0	1
1	1	0

• [math]|G| = 3[/math]

Группа вычетов по модулю три относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/math]

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

• [math]|G| = 4[/math]

Группа вычетов по модулю четыре относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[/math]

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	0	3	2
2	2	3	0	1
3	3	2	1	0

Группа [math]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/math]

+	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
(0,0)	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
(0,1)	(0,1)	(0,0)	(1,1)	(1,0)
(1,0)	(1,0)	(1,1)	(0,0)	(0,1)
(1,1)	(1,1)	(1,0)	(0,1)	(0,0)

• [math]|G| = 5[/math]

Группа вычетов по модулю пять относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[/math]

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

• [math]|G| = 6[/math]

Группа вычетов по модулю шесть относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[/math]

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

Группа перестановок множества из трех элементов: [math]\mathbb{S}_3[/math]

*	e	a	aa	b	c	d
e	e	a	aa	b	c	d
a	a	aa	e	c	d	b
aa	aa	e	a	d	b	c
b	b	d	c	e	aa	a
c	c	b	d	a	e	aa
d	d	c	b	aa	a	e

Для группы [math]\mathbb{S}_3[/math] [math]a[/math] — это циклическая перестановка [math](123)\rightarrow(231)[/math], а [math]b,\,c,\,d[/math] — транспозиции [math](123)\rightarrow(213),\,(123)\rightarrow(132),\,(123)\rightarrow(321)[/math] соответственно.