Схема Бернулли — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
−
'''Распределение числа успехов в n испытаниях'''
+
 
 
== Определение ==
 
== Определение ==
  
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition=
 
|definition=
−
Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью  p ∈ (0, 1), а неудача — с вероятностью q = 1 − p. Обозначим через <tex>      v_{n} </tex> число успехов, случившихся в n испытаниях схемы Бернулли. Эта (случайная) величина может принимать целые значения от нуля до n в зависимости от результатов испытаний. Например, если все n испытаний завершились неудачей, то величина <tex> v_{n} </tex> равна нулю.
+
Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью  p ∈ (0, 1), а неудача — с вероятностью q = 1 − p.
 
}}
 
}}
  
Строка 10: Строка 10:
 
|id=th1
 
|id=th1
 
|statement=
 
|statement=
−
(формула Бернулли). Для любого k = 0, 1, . . . , n вероятность получить в n испытаниях k успехов равна P(<tex>v_{n} </tex> = k) = <math>\binom{n}{k}</math>  <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>  
+
Для любого k = 0, 1, . . . , n вероятность получить в n испытаниях k успехов равна P(<tex>v_{n} </tex> = k) = <tex>\binom{n}{k}</tex>  <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>  
 
|proof=
 
|proof=
−
Событие A = {<tex> v_{n} </tex> = k} означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события A: когда первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события A отличаются лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно <math>\binom{n}{k}</math> cпособов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из <math>\binom{n}{k}</math> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна  <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>
+
Событие A = {<tex> v_{n} </tex> = k} означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события A: когда первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события A отличаются лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно <math>\binom{n}{k}</math> cпособов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из <tex>\binom{n}{k}</tex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна  <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 20: Строка 20:
 
Вычислим отдельно вероятности получить 4, 5 и 6 гербов после десяти подбрасываний монеты.
 
Вычислим отдельно вероятности получить 4, 5 и 6 гербов после десяти подбрасываний монеты.
  
−
P(<tex>v_{10}</tex> = 4) = <math>\binom{10}{4}</math> <tex> (1/2)^ {4}  </tex> <tex> (1/2)^ {10 - 4} </tex> ≈ 0,205;
+
P(<tex>v_{10}</tex> = 4) = <tex>\binom{10}{4}</tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {4}  </tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {10 - 4} </tex> ≈ 0,205;
  
−
P(<tex>v_{10}</tex> = 5) = <math>\binom{10}{5}</math> <tex> (1/2)^ {5}  </tex> <tex> (1/2)^ {10 - 5}</tex> ≈ 0,246;
+
P(<tex>v_{10}</tex> = 5) = <tex>\binom{10}{5}</tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {5}  </tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {10 - 5}</tex> ≈ 0,246;
  
−
P(<tex>v_{10}</tex> = 6) = <math>\binom{10}{6}</math> <tex> (1/2)^ {6}  </tex> <tex> (1/2)^ {10 - 6} </tex> ≈ 0,205;
+
P(<tex>v_{10}</tex> = 6) = <tex>\binom{10}{6}</tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {6}  </tex> <tex> \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {10 - 6} </tex> ≈ 0,205;
  
 
Сложим вероятности несовместных событий:
 
Сложим вероятности несовместных событий:
 
P(4<= <tex> v_{10}</tex> <= 6) = P(<tex> v_{10} </tex> = 4) + P(<tex> v_{10} </tex> = 5) + P(<tex> v_{10} </tex> = 6)  ≈ 0,656.
 
P(4<= <tex> v_{10}</tex> <= 6) = P(<tex> v_{10} </tex> = 4) + P(<tex> v_{10} </tex> = 5) + P(<tex> v_{10} </tex> = 6)  ≈ 0,656.

Версия 12:42, 19 декабря 2012

Определение

Определение:
Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью p ∈ (0, 1), а неудача — с вероятностью q = 1 − p.


Теорема:
Для любого k = 0, 1, . . . , n вероятность получить в n испытаниях k успехов равна P([math]v_{n} [/math] = k) = [math]\binom{n}{k}[/math] [math] p ^ {k} [/math] [math] q ^ {n - k}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Событие A = {[math] v_{n} [/math] = k} означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события A: когда первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна [math] p ^ {k} [/math] [math] (1-p) ^ {n - k} [/math] Другие элементарные исходы из события A отличаются лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно [math]\binom{n}{k}[/math] cпособов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из [math]\binom{n}{k}[/math] элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна [math] p ^ {k} [/math] [math] q ^ {n - k}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Пример

Правильная монета подбрасывается 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от 4 до 6 раз.

Вычислим отдельно вероятности получить 4, 5 и 6 гербов после десяти подбрасываний монеты.

P([math]v_{10}[/math] = 4) = [math]\binom{10}{4}[/math] [math] \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {4} [/math] [math] \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {10 - 4} [/math] ≈ 0,205;

P([math]v_{10}[/math] = 5) = [math]\binom{10}{5}[/math] [math] \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {5} [/math] [math] \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {10 - 5}[/math] ≈ 0,246;

P([math]v_{10}[/math] = 6) = [math]\binom{10}{6}[/math] [math] \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {6} [/math] [math] \genfrac{}{}{}{0}{1}{2}^ {10 - 6} [/math] ≈ 0,205;

Сложим вероятности несовместных событий: P(4<= [math] v_{10}[/math] <= 6) = P([math] v_{10} [/math] = 4) + P([math] v_{10} [/math] = 5) + P([math] v_{10} [/math] = 6) ≈ 0,656.

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Схема_Бернулли&oldid=27926»