Числа Стирлинга первого рода

Числа Стирлинга первого рода (Stirling numbers of the first kind) — количество перестановок порядка [math]n[/math] с [math]k[/math] циклами. Числа Стирлинга 1-го рода обозначаются как [math]s(n,k)[/math] или [math]\left[{n\atop k}\right][/math]. Числа Стирлинга используются в задачах(например, олимпиадных), где одной из подзадач является нахождение количества перестановок порядка [math]n[/math] с [math]k[/math] циклами.

Пример

[math]s(4,2)=11[/math]

Существует 11 разбиений перестановки из четырех элементов на два цикла:

[math](1)(2; 4; 3) \qquad (1)(2; 3; 4)[/math] <br\> [math](2)(1; 4; 3) \qquad (2)(1; 3; 4)[/math] <br\> [math](3)(1; 4; 2) \qquad (3)(1; 2; 4)[/math] <br\> [math](4)(1; 3; 2) \qquad (4)(1; 2; 3)[/math] <br\> [math](1; 2)(3; 4)[/math] <br\> [math](1; 4)(2; 3)[/math] <br\> [math](1; 3)(2; 4)[/math] <br\>

Заметим, что перестановки [math](1)(2; 3; 4)[/math] и [math](1)(2; 4; 3)[/math] считаются различными, так как подмножество [math](2; 3; 4)[/math] невозможно получить ни из подмножества [math](1)[/math], ни из подмножества [math](2; 4; 3)[/math] с помощью циклического сдвига элементов.

Соотношения

Равносильное определение получается, если числа Стирлинга задать как коэффициенты в разложении: [math](x)^{n} = \sum_{k=0}^n s(n,k) x^k,[/math]

Следовательно, числа Стирлинга 1-го рода позволяют перейти от базиса [math](x)^{1},(x)^{2},(x)^{3} \cdots[/math] к базису [math]1,x,x^2 \cdots[/math]

Здесь [math](x)^{n}[/math] обозначим как возрастающие факториальные степени:

[math](x)^{n}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1).[/math]

Для ясности рассмотрим пример, при котором [math]n=3[/math]:

[math](x)^{3}=x(x+1)(x+2)=1 \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 + 2 \cdot x[/math], здесь коэффициенты при [math]x^k[/math] — это [math]s(3,k)[/math], то есть:

[math]s(3,3)=1[/math]

[math]s(3,2)=3[/math]

[math]s(3,1)=2[/math]

Рекуррентное соотношение

Числа Стирлинга первого рода задаются рекуррентным соотношением:

[math] s(0, 0) = 1 [/math],

[math] s(n, 0) = 0 [/math], для [math]n \gt 0[/math],

[math] s(0, k) = 0 [/math], для [math]k \gt 0[/math].

Выведем рекуррентную формулу для вычисления чисел Стирлинга первого рода. Каждое представление [math]n[/math] элементов в виде [math]k[/math] циклов либо помещает последний элемент([math]n-[/math]ый) в отдельный цикл [math]s(n-1, k-1)[/math] способами, либо вставляет этот элемент в одно из [math]s(n-1, k)[/math] циклических представлений первых [math](n-1)[/math] элементов. В последнем случае существует [math](n-1)[/math] различных способов подобной вставки. Например, при вставке элемента [math]4[/math] в цикл [math][1;2;3][/math] можно получить только 3 разных цикла: [math][1;2;3;4], [1;2;4;3], [1;4;2;3][/math]. Таким образом, рекуррентность имеет вид:

[math]s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)s(n-1,k)[/math]

Доказательство

Рассмотрим [math]s(n+1,k)[/math]:

По определению, данному выше:

[math](x)^{n+1}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)(x+n) = n(x)^{n}+x(x)^{n}[/math]

Заметим, что коэффициенты [math](x)^{n+1}[/math] — это [math]s(n+1,k)[/math]

Аналогично можно сказать, что коэффициенты [math]n(x)^{n}[/math] — это [math]ns(n,k)[/math]

А коэффициенты [math]x(x)^{n}[/math] — это [math]s(n,k-1)[/math], так как степени при [math]x[/math] увеличатся на 1, а коэффициенты при этом не изменятся.

Так как левая и правая части равенства равны как полиномы, то равны и коэффициенты перед [math]x^k[/math], следовательно справедливо равенство:

[math]s(n+1,k)=ns(n,k)+s(n,k-1)[/math] или [math]s(n,k)=(n-1)s(n-1,k)+ s(n-1,k-1)[/math]

Числа Стирлинга для малых N и K

Ниже представлены некоторые значения чисел Стирлинга, которые легко подсчитать, используя рекуррентные соотношения

n\k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	2	3	1
4	0	6	11	6	1
5	0	24	50	35	10	1
6	0	120	274	225	85	15	1
7	0	720	1764	1624	735	175	21	1
8	0	5040	13068	13132	6769	1960	322	28	1
9	0	40320	109584	118124	67284	22449	4536	546	36	1

Тождества, включающие числа Стирлинга первого рода

Как уже упоминалось ранее:

[math]s(0,0)=1[/math]

[math]s(n,0)=s(0,k)=0[/math], в общем случае [math]s(n,k)=0[/math], если [math]k \gt n[/math]

Также

[math]s(n,1)=(n-1)![/math]

[math]s(n,n)=1[/math]

[math]s(n,n-1)={n \choose 2}[/math]

[math]s(n,n-2)=\frac{1}{4} (3n-1) {n \choose 3}[/math]

[math]s(n,n-3)={n \choose 2}{n \choose 4}[/math]

Связь между числами Стирлинга

Если числа Стирлинга 1-го рода позволяют перейти от базиса [math](x)^{1},(x)^{2},(x)^{3} \cdots[/math] к базису [math]1,x,x^2 \cdots[/math],

то числа Стирлинга 2-го рода играют обратную роль и позволяют перейти от базиса [math]1,x,x^2 \cdots[/math] к базису [math](x)^{1},(x)^{2},(x)^{3} \cdots[/math].

Следовательно, числа Стирлинга тесно связаны друг с другом, а их связь выражается формулой:

[math]\sum_{k=1}^n S(n,k) s(k,m) (-1)^{k-m} = 1[/math], если [math]n=m[/math], иначе [math]0[/math]

См. также

• Числа Стирлинга второго рода

Ссылки

• Числа Стирлинга первого рода

• Stirling numbers of the first kind