Счетно-нормированные пространства — различия между версиями
(Новая страница: «{{В разработке}}») |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{{В разработке}} | {{В разработке}} | ||
| + | <wikitex> | ||
| + | $C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$ | ||
| + | |||
| + | $ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$. | ||
| + | |||
| + | Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется. | ||
| + | |||
| + | {{Определение | ||
| + | |definition= | ||
| + | '''Полунорма''' — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства. | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | {{Определение | ||
| + | |definition= | ||
| + | Пусть $X$ — линейное пространство, $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют '''счетно-нормированным пространством''' | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | $x = \lim\limits_{p \to \infty} x_p $ определеяется как то, что все $p_n(x - x_p) \xrightarrow[p \to \infty]{} 0$, то есть $p$ гарантирует единственность предела: если $x' = \lim\limits_{p \to \infty} x_p$, все $p_n(x' - x_p) \to 0$, $p_n(x - x') \le p_n(x - x_p) + p_n(x' - x_p)$, то есть при стремлении $p$ к нулю, $p_n(x - x')$ тоже стремится к нулю и $x = x'$. | ||
| + | |||
| + | Счетно-нормированные пространства можно нормировать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} 2{p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$. | ||
| + | |||
| + | Пример: | ||
| + | * $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$, следовательно, его можно рассматривать как счетно-нормированное пространство и как метрическое. | ||
| + | |||
| + | Возникает вопрос в каком случае можно нормировать: существует норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм. TODO пшшш какая-то непонятная хрень про монотонность полунорм. Две системы полунорм эквивалентны, если они порождают одну и ту же сходимость. | ||
| + | |||
| + | Можно считать, что система полунорм удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли | ||
| + | |||
| + | {{Определение | ||
| + | |definition= | ||
| + | Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если $\forall p_n \exists q_{m_n} \forall x \in X: p_n(x) < c_n q_{m_n}(x)$, $c_n$ — константа. | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | </wikitex> | ||
Версия 16:18, 2 января 2013
<wikitex> $C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$
$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.
Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.
| Определение: |
| Полунорма — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства. |
| Определение: |
| Пусть $X$ — линейное пространство, $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют счетно-нормированным пространством |
$x = \lim\limits_{p \to \infty} x_p $ определеяется как то, что все $p_n(x - x_p) \xrightarrow[p \to \infty]{} 0$, то есть $p$ гарантирует единственность предела: если $x' = \lim\limits_{p \to \infty} x_p$, все $p_n(x' - x_p) \to 0$, $p_n(x - x') \le p_n(x - x_p) + p_n(x' - x_p)$, то есть при стремлении $p$ к нулю, $p_n(x - x')$ тоже стремится к нулю и $x = x'$.
Счетно-нормированные пространства можно нормировать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} 2{p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.
Пример:
- $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$, следовательно, его можно рассматривать как счетно-нормированное пространство и как метрическое.
Возникает вопрос в каком случае можно нормировать: существует норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм. TODO пшшш какая-то непонятная хрень про монотонность полунорм. Две системы полунорм эквивалентны, если они порождают одну и ту же сходимость.
Можно считать, что система полунорм удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли
| Определение: |
| Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ мажорирует $\{p_n\}$ если $\forall p_n \exists q_{m_n} \forall x \in X: p_n(x) < c_n q_{m_n}(x)$, $c_n$ — константа. |
</wikitex>
