Топологические векторные пространства

Эта статья находится в разработке!

<wikitex>

Рассмотрим множество $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$. Множество таких функций образуют линейное пространство. Если определять предел в поточечном смысле, операции сложения и умножения на число в этом пространстве непрерывны. Мотивация введения топологических векторных пространств — обобщение этой ситуации на абстрактный случай.

Определение:

Топологическое векторное пространство — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны, то есть: непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $U(x_0):

В ситуации $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$, когда предел определен поточечно, если $\forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0$ рассмотреть $U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \}$, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.

Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть $X$ — линейное пространство, $A, B \subset X \Rightarrow A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}$(TODO: что бы значила тут стрелка вправо?), $\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}. Заметим, что $2 A \subset A + A$, но обратное не верно.

Определение:

$A$ закругленное/уравновешенное, если $\forall \lambda:

Определение:

$A$ поглощает $B$, если $\exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda:

Определение:

$A$ радиальное, если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.

Определение:

$A$ выпуклое, если $\forall x, y \in A \forall 0 \le \alpha \le 1: \alpha x + \beta y \in A$, то есть множество содержит отрезок, соединяющий любые два его элемента.

</wikitex>