Счетно-нормированные пространства

Эта статья находится в разработке!

<wikitex> $C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$

$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.

Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.

Определение:

Полунорма — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.

Определение:

Пусть $X$ — линейное пространство, $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют счетно-нормированным пространством

$x = \lim\limits_{p \to \infty} x_p $ определеяется как то, что все $p_n(x - x_p) \xrightarrow[p \to \infty]{} 0$, то есть $p$ гарантирует единственность предела: если $x' = \lim\limits_{p \to \infty} x_p$, все $p_n(x' - x_p) \to 0$, $p_n(x - x') \le p_n(x - x_p) + p_n(x' - x_p)$, то есть при стремлении $p$ к нулю, $p_n(x - x')$ тоже стремится к нулю и $x = x'$.

Счетно-нормированные пространства можно нормировать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} 2{p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.

Пример:

• $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$, следовательно, его можно рассматривать как счетно-нормированное пространство и как метрическое.

Возникает вопрос в каком случае можно нормировать: существует норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм. TODO пшшш какая-то непонятная хрень про монотонность полунорм. Две системы полунорм эквивалентны, если они порождают одну и ту же сходимость.

Можно считать, что система полунорм удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли

Определение:

Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ мажорирует $\{p_n\}$ если $\forall p_n \exists q_{m_n} \forall x \in X: p_n(x) < c_n q_{m_n}(x)$, $c_n$ — константа. TODO не пойму, $q_{m_n}$ означает просто что какой-то номер $m$, свой для конкретного $n$ или что?

Утверждение:

Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга.

[math]\triangleright[/math]

В обратную сторону: пусть они мажорируют друг друга, тогда $q_n(x) \le c_n p_m(x)$, то есть из сходимости $p_m(x)$ следует сходимость $q_n(x)$. Аналогично из $p_n(x) \le c_n q_m(x)$ и сходимости $q_m(x)$ следует сходимость $p_n(x)$. В прямую сторону: TODO что-то я нифига не понял в конспекте

[math]\triangleleft[/math]

Критерий нормируемости счетно-нормированного пространства: система полунорм существенна, если не мажорируется ни одной из предыдущих полунорм (TODO пшшш в скобках).

Теорема:

Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе конечное число существенных полунорм.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

TODO: не осознал формулировку как-то, да и вообще мутно

[math]\triangleleft[/math]

</wikitex>