Счетно-нормированные пространства

Эта статья находится в разработке!

<wikitex> $C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$

$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.

Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.

Определение:

Полунорма — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.

Определение:

Пусть $X$ — линейное пространство, $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют счетно-нормированным пространством

Определение:

$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$, если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.

Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$.

Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных TODO: но обратное в общем случае неверно.

Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.

Пример:

• $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$, следовательно, его можно рассматривать как счетно-нормированное пространство и как метрическое.

Возникает вопрос в каком случае можно нормировать, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм.

Определение:

Система полунорм $\{p_n\}$ называется монотонной, если если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(X)$.

Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли

Две системы полунорм эквивалентны, если они порождают одну и ту же сходимость. TODO: какая-то неразборчивая хурма

Определение:

Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ мажорирует $\{p_n\}$ если $\forall p_n \exists q_{m_n} \exists c_n \forall x \in X: p_n(x) < c_n q_{m_n}(x)$, $c_n$ — константа. TODO не пойму, $q_{m_n}$ означает просто что какой-то номер $m$, свой для конкретного $n$ или что?

Утверждение:

Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга.

[math]\triangleright[/math]

В обратную сторону: пусть они мажорируют друг друга, тогда $q_n(x) \le c_n p_m(x)$, то есть из сходимости $p_m(x)$ следует сходимость $q_n(x)$. Аналогично из $p_n(x) \le c_n q_m(x)$ и сходимости $q_m(x)$ следует сходимость $p_n(x)$. В прямую сторону: пусть $\{p_n\}$ и $\{q_n\}$ эквивалентны. Установим, что $\{q_n\}$ мажорирует $\{p_n\}$. Докажем от противного: пусть существует $p_{n_0}$, не мажорируемая $\{q_n\}$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_{n_0}(x_n) \ge n q_n(x_n)$. TODO блин, тут, кажется, $n$ клашится, нифига не понятно ((

[math]\triangleleft[/math]

Критерий нормируемости счетно-нормированного пространства: система полунорм существенна, если не мажорируется ни одной из предыдущих полунорм (TODO пшшш в скобках). TODO: видимо, тут хотят сказать, что $\forall m > n:

Теорема:

Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе конечное число существенных полунорм.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

TODO: не осознал формулировку как-то, да и вообще мутно

[math]\triangleleft[/math]

</wikitex>