Счетно-нормированные пространства — различия между версиями
(немного пофиксил, ща доделаю) |
(посидел, блин, в твиттерке() |
||
| Строка 16: | Строка 16: | ||
Пусть $X$ — линейное пространство, $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют '''счетно-нормированным пространством''' | Пусть $X$ — линейное пространство, $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют '''счетно-нормированным пространством''' | ||
}} | }} | ||
| + | |||
| + | Пример: | ||
| + | * $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$ | ||
| + | |||
| + | Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.TODO: проверить, чтоли | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
| − | '''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$. | + | '''$x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$''', если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$.<br> Две системы полунорм '''эквивалентны''', если они порождают одну и ту же сходимость. |
}} | }} | ||
Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$. | Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных, но обратное в общем случае неверно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм? | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
| − | Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}( | + | Система полунорм $\{p_n\}$ называется '''монотонной''', если если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(x)$. |
}} | }} | ||
| − | Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли | + | Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли, или посмотреть в Вулиха, Введение в функциональный анализ, стр. 362, там это есть для максимума. |
| − | |||
| − | |||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
| − | Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если $\ | + | Полунорма $q$ '''мажорирует''' полунорму $p$, если $\exists C \forall x \in X: p(x) \le C q(x)$.<br> |
| + | Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если каждая полунорма из $\{p_n\}$ мажорируется какой-то полунормой из $\{q_n\}$. | ||
}} | }} | ||
| Строка 52: | Строка 50: | ||
Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга. | Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга. | ||
|proof= | |proof= | ||
| − | В обратную сторону: | + | В обратную сторону: рассмотрим любую полунорму $p_m$: по мажорируемости, $\exists q_k \exists M: p_m(x_n - x) \le M q_k(x_n - x)$, но $q_k(x_n - x) \to 0$ по сходимости $x_n$ по системе полунорм $q$. Абсолютно симметрично для случая, когда $p$ мажорирует $q$. |
| − | В прямую сторону: пусть $ | + | В прямую сторону: пусть системы $p$ и $q$ эквивалентны. Установим, что $q$ мажорирует $p$, то что $p$ мажорирует $q$ доказывается аналогично. Докажем от противного: пусть существует $p_{M}$, не мажорируемая ни одной полунормой из $q$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_M(x_n) > n q_n(x_n)$. По гомогенности полунормы, если вместо $x_n$ взять $y_n = {x_n \over p_M(x_n)}$, неравенство все еще будет соблюдаться, а норма $p_M(y_n)$ будет равна $1$, то есть получили $1 > n q_n(y_n)$ и последовательность $y_n$ по полунорме $p_M$ не сходится к 0. |
| + | |||
| + | Покажем, что $y_n \to 0$ по полунормам системы $q$, то есть $\forall m: q_m \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$: для каждого конкретного $m$ возьмем члены $y$ начиная с $m$-того элемента, тогда $\forall n \ge m: q_m(y_n) \le q_n(y_n)$ (это по монотонности) $\le {1 \over n}$ (по уже доказанному), устремив $n \to \infty$ получаем, что каждая конкретная полунорма стремится к нулю, то есть по системе $p$ последовательность $y_n$ не сходится, а по $q$ — сходится, противоречие. | ||
}} | }} | ||
| − | + | {{Определение | |
| + | |definition= | ||
| + | Полунорма $p_n$ в системе $p$ '''существенна''', если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами. | ||
| + | }} | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
| + | |about=критерий нормируемости счетно-нормированного пространства | ||
|statement= | |statement= | ||
| − | Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе конечное число существенных полунорм. | + | Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм. |
|proof= | |proof= | ||
| − | TODO: | + | TODO:coming soon |
}} | }} | ||
Версия 04:51, 6 января 2013
Эта статья находится в разработке!
<wikitex> $C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$
$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.
Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.
| Определение: |
| Полунорма — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства. |
| Определение: |
| Пусть $X$ — линейное пространство, $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют счетно-нормированным пространством |
Пример:
- $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$
Счетно-нормированные пространства можно метризовать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.TODO: проверить, чтоли
| Определение: |
| $x_n$ сходится к $x$ по системе полунорм $\{p_m\}$, если $p_m(x_n - x) \to 0$ при всех $m$. Две системы полунорм эквивалентны, если они порождают одну и ту же сходимость. |
Единственность предела гарантирована: если $x' = \lim\limits_{n \to \infty} x_n$, все $p_m(x' - x_n) \to 0$, $p_m(x - x') \le p_m(x - x_n) + p_m(x' - x_n)$, то есть при стремлении $n$ к бесконечности, $p_m(x - x')$ стремится к нулю и $x = x'$.
Заметрим, что нормированные пространства являются частным случаем счетно-нормированных, но обратное в общем случае неверно, каковым вопросом мы и займемся, то есть существует ли норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм?
| Определение: |
| Система полунорм $\{p_n\}$ называется монотонной, если если $\forall n \forall x \in X: p_n(x) \le p_{n+1}(x)$. |
Можно считать, что система полунорм всегда удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли, или посмотреть в Вулиха, Введение в функциональный анализ, стр. 362, там это есть для максимума.
| Определение: |
| Полунорма $q$ мажорирует полунорму $p$, если $\exists C \forall x \in X: p(x) \le C q(x)$. Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ мажорирует $\{p_n\}$ если каждая полунорма из $\{p_n\}$ мажорируется какой-то полунормой из $\{q_n\}$. |
| Утверждение: |
Две монотонные системы полунорм эквивалентны тогда и только тогда, когда они мажорируют друг друга. |
|
В обратную сторону: рассмотрим любую полунорму $p_m$: по мажорируемости, $\exists q_k \exists M: p_m(x_n - x) \le M q_k(x_n - x)$, но $q_k(x_n - x) \to 0$ по сходимости $x_n$ по системе полунорм $q$. Абсолютно симметрично для случая, когда $p$ мажорирует $q$. В прямую сторону: пусть системы $p$ и $q$ эквивалентны. Установим, что $q$ мажорирует $p$, то что $p$ мажорирует $q$ доказывается аналогично. Докажем от противного: пусть существует $p_{M}$, не мажорируемая ни одной полунормой из $q$, то есть $\forall n \in \mathbb{N} \exists x_n \in X: p_M(x_n) > n q_n(x_n)$. По гомогенности полунормы, если вместо $x_n$ взять $y_n = {x_n \over p_M(x_n)}$, неравенство все еще будет соблюдаться, а норма $p_M(y_n)$ будет равна $1$, то есть получили $1 > n q_n(y_n)$ и последовательность $y_n$ по полунорме $p_M$ не сходится к 0. Покажем, что $y_n \to 0$ по полунормам системы $q$, то есть $\forall m: q_m \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$: для каждого конкретного $m$ возьмем члены $y$ начиная с $m$-того элемента, тогда $\forall n \ge m: q_m(y_n) \le q_n(y_n)$ (это по монотонности) $\le {1 \over n}$ (по уже доказанному), устремив $n \to \infty$ получаем, что каждая конкретная полунорма стремится к нулю, то есть по системе $p$ последовательность $y_n$ не сходится, а по $q$ — сходится, противоречие. |
| Определение: |
| Полунорма $p_n$ в системе $p$ существенна, если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами. |
| Теорема (критерий нормируемости счетно-нормированного пространства): |
Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм. |
| Доказательство: |
| TODO:coming soon |
</wikitex>
