Примеры использования Марковских цепей — различия между версиями
Deyneka (обсуждение | вклад) |
Deyneka (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Обозначения == | == Обозначения == | ||
− | Предположим, что проводится серия экспериментов с возможными исходами <tex>s_1,s_2,s_3,...s_n</tex>. Назовём эти исходы '''состояниями'''. | + | Предположим, что проводится серия экспериментов с возможными исходами <tex>s_1,s_2,s_3,...s_n</tex>. Назовём эти исходы '''состояниями'''. |
− | + | <ul> | |
− | + | <li><tex>p_i^{(0)} </tex> — вероятность того, что мы начинаем в состоянии <tex>s_i</tex> | |
+ | <li><tex>p_{ij} </tex> — вероятность того, что в результате эксперимента состояние было изменено от состояния <tex>s_i</tex> к состоянию <tex>s_j</tex>. | ||
Если <tex>p_i^{(1)}</tex> вероятность того, что исходом эксперимента будет состояние <tex>s_i</tex>. Тогда | Если <tex>p_i^{(1)}</tex> вероятность того, что исходом эксперимента будет состояние <tex>s_i</tex>. Тогда | ||
− | <tex>p_i^{(1)} = p_1^{(0)}p_{1i} + p_2^{(0)}p_{2i} + p_3^{(0)}p_{3i} + ... +p_n^{(0)}p_{ni}(*)</tex> | + | <tex>p_i^{(1)} = p_1^{(0)}p_{1i} + p_2^{(0)}p_{2i} + p_3^{(0)}p_{3i} + ... +p_n^{(0)}p_{ni} (*) </tex> |
Это означает, что вероятность исхода в состоянии <tex>s_i</tex> равна сумме вероятностей начать эксперимент в некотором другом состоянии и окончить в <tex>s_i</tex>. | Это означает, что вероятность исхода в состоянии <tex>s_i</tex> равна сумме вероятностей начать эксперимент в некотором другом состоянии и окончить в <tex>s_i</tex>. | ||
− | Также заметим что: | + | Также заметим, что: |
<tex>p_{j1}+p_{j2}+p_{j3}+ ... +p_{jn} = 1</tex> | <tex>p_{j1}+p_{j2}+p_{j3}+ ... +p_{jn} = 1</tex> | ||
− | + | <li>Матрица T называется матрицей перехода. В общем случае она имеет вид: | |
<tex> | <tex> | ||
Строка 50: | Строка 51: | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
</tex> | </tex> | ||
− | + | </ul> | |
Использование матриц приводит к более компактной записи условий.По своей сути, перемножение строки <tex> p_i^{(0)} </tex> с матрицей <tex> T </tex> эквивалентно уравнению <tex> (*) </tex>, рассмотренному ранее. | Использование матриц приводит к более компактной записи условий.По своей сути, перемножение строки <tex> p_i^{(0)} </tex> с матрицей <tex> T </tex> эквивалентно уравнению <tex> (*) </tex>, рассмотренному ранее. | ||
== Прогноз погоды == | == Прогноз погоды == |
Версия 10:35, 14 января 2013
Содержание
Обозначения
Предположим, что проводится серия экспериментов с возможными исходами
. Назовём эти исходы состояниями.- — вероятность того, что мы начинаем в состоянии
- — вероятность того, что в результате эксперимента состояние было изменено от состояния к состоянию . Если вероятность того, что исходом эксперимента будет состояние . Тогда Это означает, что вероятность исхода в состоянии равна сумме вероятностей начать эксперимент в некотором другом состоянии и окончить в . Также заметим, что:
- Матрица T называется матрицей перехода. В общем случае она имеет вид: Пусть и тогда
Использование матриц приводит к более компактной записи условий.По своей сути, перемножение строки
с матрицей эквивалентно уравнению , рассмотренному ранее.Прогноз погоды
Условие
Погода классифицируется в прогнозах как ясная, умеренно пасмурная и пасмурная.
- Если погода ясная, то вероятность, что она будет ясной на следующий день, составляет 0.5; вероятность, что она будет умеренно пасмурной, равна 0.4; а вероятность пасмурной погоды на следующий день составляет 0.1.
- Если погода умеренно пасмурная, то вероятность, что на следующий день она будет ясной, равна 0.3; вероятность, что погода останется умеренно пасмурной, равна 0.5; а вероятность пасмурной погоды на следующий день составляет 0.2.
- Если же погода пасмурная то вероятность, что на следующий день она останется пасмурной, равна 0.4; вероятность, что она станет умеренно пасмурной, равна 0.4; а вероятность того, что она будет ясной на следующий день составляет 0.2.
Вопрос 1 : Если вероятность ясной погоды в воскресенье равна 0.6, а вероятность умеренно пасмурности — 0.4, то какова вероятность, что погода в понедельник будет ясной?
Вопрос 2 : Какова вероятность, что во вторник погода будет умеренно пасмурной?
Решение
Если порядок, в котором перечисляются погодные условия, таков: ясно, умеренно пасмурно и пасмурно, то:
следовательно,
и вероятность, что в понедельник будет ясная погода, равна .Пусть
— вероятность того, что во вторник будет ясная погода, — вероятность того, что во вторник будет умеренно пасмурно и — вероятность того, что во вторник будет пасмурно.Пусть
.Тогда
Следовательно, вероятность того, что во вторник будет умеренно пасмурная погода равна
.
Пусть — вероятность, что исходом m-го проведения эксперимента будет состояние и
Теорема: |
Для любого положительного целого числа m выполняется |
Доказательство: |
Докажем теорему, используя индукцию.Было показано(в примере про погоду), что для утверждение справедливо. Предположим,что оно справедливо для , так что Посколькуто |
Оценка будущих продаж
Цепи Маркова также применяются при оценке будущих продаж. Например, сделав опрос среди покупателей той или иной марки автомобиля о их следующем выборе, можно составить матрицу
.Условие
В процессе опроса владельцев автомобилей трех американских марок: марки A, марки B, марки С, им был задан вопрос о том, какую торговую марку они бы выбрали для следующей покупки.
- Среди владельцев автомобилей марки A 20% сказали, что они бы перешли на марку B, а 30% заявили, что предпочли бы марку С.
- Среди владельцев автомобилей марки B 20% сказали, что перейдут на марку A, в то время как 70% заявили, что приобрели бы опять автомобиль марки B, а 10% заявили, что в следующий раз предпочли бы марку C.
- Среди владельцев автомобилей С, 30% ответили, что перешли бы на марку A, 30% сказали, что перешли бы на марку B, а 40% заявили, что остались бы верны той же марке С.
Вопрос 1 : Если некто приобрел автомобиль марки A, то какова вероятность, что его второй машиной будет автомобиль марки C?
Вопрос 2 : Если при покупке первой машины покупатель подбросил монету, выбирая между автомобилями марки B и С, то какова вероятность, что его третьей машиной станет автомобиль марки B?
Решение
Матрица перехода для этого события имеет вид:
Для ответа на первый вопрос имеем:
поэтому
Вероятность того, что вторая машина будет марки С, равна 0.3. Для ответа на второй вопрос требуется найти
Для (2) имеем
ипоэтому вероятность того, что второй автомобиль будет марки A равна 0.225.
Литература
- Марков А. А., Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга. — Известия физико-математического общества при Казанском университете. — 2-я серия. — Том 15. (1906) — С. 135—156.
- Kemeny J. G., Snell J. L., Finite Markov chains. — The University Series in Undergraduate Mathematics. — Princeton: Van Nostrand, 1960 (перевод: Кемени Дж. Дж., Снелл Дж. Л. Конечные цепи Маркова. — М.: Наука. 1970. — 272 с.)