Обсуждение:Нормированные пространства (3 курс)

Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость. В обратную сторону: ???.

А у меня в конспекте ничего не сказано про равносильность определений, более того, подозреваю, что это неверно. --Мейнстер Д. 01:02, 5 января 2013 (GST)

UPD: видимо, равносильность все же должна быть. Но я пока не понимаю, как ее доказать. Может, кто-нибудь сделает это? --Мейнстер Д. 07:43, 7 января 2013 (GST)

А тебе для чего-то понадобилось? --Дмитрий Герасимов 15:10, 7 января 2013 (GST)

<wikitex>И, кстати, я правильно понимаю, что надо доказать что-то вроде "если нормы не эквивалентны, то найдется последовательность, которая по одной норме сходится, а по другой нет?". Тогда вроде все просто, действуем по определению, пусть $\|\|_1$ и $\|\|_2$ не эквивалентны, тогда для любого $n$ найдется $x_n$ такой, что $\|x_n\|_1 > n \|x_n\|_2$. Теперь рассмотрим последовательность $\frac{x_n}{\|x_n\|_1}$, по первой норме она сходится к 1, а по второй норме — к 0</wikitex>. --Дмитрий Герасимов 10:19, 13 января 2013 (GST)

Не, не понадобилось, просто я подумал и решил, что это как-то неестественно, если определения не эквивалентны. Да, твое доказательство верно, сейчас добавлю его в статью. --Мейнстер Д. 21:26, 13 января 2013 (GST)

Стоп, твое доказательство неверно =( Последовательность [math] \frac {x_n} {\|x_n\|} [/math] не обязана никуда сходиться. То, что последовательность из норм к чему-то сходится, еще ничего не значит. Доказательство, тем не менее, правдоподобное, но его надо доработать.

UPD: доработал --Мейнстер Д. 22:46, 13 января 2013 (GST)

Почему то, что последовательность норм сходится, ничего не означает? Сходимость же через нормы и определеяется. Да и у тебя ровно то доказательство, которое я имел в виду) --Дмитрий Герасимов 11:36, 14 января 2013 (GST)

TODO: сначала надо что-то сказать про изоморфность конечномерных пространств, чтоли?

WAT? Вроде бы, все согласуется с определением конечномерного пространства, возможно, я чего-то не понял, но пока удолил --Мейнстер Д. 01:02, 5 января 2013 (GST)

аппроксимационная теорема Вейерштрасса (Стоуна-Вейерштрасса)

Может быть, можно как-то воспользоваться следствием и очень просто доказать ее, но в моем конспекте она вообще не упомянута. --Мейнстер Д. 01:12, 5 января 2013 (GST)

UPD: Похоже, речь шла о том, что в теореме Вейерштрасса максимальная степень полинома не ограничена, и пространство вообще всех полиномов замкнутым не является, но это — так, маловажное замечание. --Мейнстер Д. 04:08, 5 января 2013 (GST)

норма для R^infty

"не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой."

почему? --Дмитрий Герасимов 09:52, 13 января 2013 (GST)

Допустим, это можно сделать, тогда [math] \|x\| = \rho(0, x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \frac {|x_k|} {1 + |x_k|} [/math], ну и дальше понятно, что там однородность поедет. --Мейнстер Д. 21:15, 13 января 2013 (GST)

Неубедительно. Если там однородность поедет, то это вообще даже не норма, и из этого ничего не следует. Разве обязательно, чтобы [math]\|x\| = \rho(0,x)[/math]? А вдруг есть другой способ задать норму, и в ней то все будет? Взять, например, пространство [math]\mathbb{R}[/math] с той же метрикой: [math]\rho(x, y) = \frac {|x - y|} {1 + |x - y|}[/math]. Тут можно взять любую норму, например [math]\|x\| = |x|[/math], и сходимость по норме будет равносильна сходимости по метрике. А, если бы взяли [math]\|x\| = \rho(0,x)[/math], то однородность точно также бы поехала. --Dmitriy D. 21:29, 15 января 2013 (GST)

Да, действительно, я неправ. Ну тогда надо думать, только, что-то мне кажется, это утверждение далеко не тривиально =) --Мейнстер Д. 22:02, 15 января 2013 (GST)

компактность единичной сферы в норме \|\|_2

Нужна для доказательства теоремы Рисса. Мы это где-то доказывали? Если нет, я правильно понимаю, что надо сказать, что пространство полное по метрике, индуцированной этой нормой, замкнутость сферы очевидна, вполне ограниченность тоже, ну и тогда по теореме кого-то там (точно была) — это компакт? --Дмитрий Герасимов 10:47, 13 января 2013 (GST)

Теорема кого-то там — это теорема Хаусдорфа об [math] \varepsilon [/math]-сетях =) Замкнутость и вполне ограниченность, кстати, не очень очевидны. Если будешь затыкать TODO в конспекте, вынеси в отдельное утверждение, пожалуйста. --Мейнстер Д. 22:52, 13 января 2013 (GST)

запилил, все еще не очень формально, но мне лень расписывать --Дмитрий Герасимов 12:00, 14 января 2013 (GST)

Последняя теорема статьи

Сейчас в доказательстве написана какая-то хурма (до этого тоже была хурма, ага). Мы не можем расписать [math] y [/math] как [math] \sum \alpha_k e_k [/math], так как это бы сразу же означало, что [math] y \in Y [/math], а нам это и нужно доказать. --Мейнстер Д. 19:58, 17 января 2013 (GST)