Нормированные пространства (3 курс)

Определение:

Линейное (векторное) пространство над полем [math]K[/math] — это множество [math]L[/math] с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что: По операции сложения [math]L[/math] является абелевой группой — выполняются: ассоциативность — [math]\forall x, y, z \in L: (x + y) + z = x + (y + z)[/math]; существование нейтрального элемента — [math]\exists \mathrm{0} \in L\ \forall x \in L: x + \mathrm{0} = \mathrm{0} + x = x[/math], причем можно показать, что он единственный; существование обратного элемента — [math]\forall x \in L\ \exists y: x + y = \mathrm{0}[/math], такой [math]y[/math] называют обратным к [math]x[/math], причем можно показать, что он единственный; коммутативность — [math]\forall x, y \in L: x + y = y + x[/math]; Для операции умножения на скаляр: ассоциативность умножения на скаляр — [math]\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)[/math]; унитарность: [math]\forall x \in L: 1 \cdot x = x[/math], где [math]1[/math] — единица по умножению в поле [math]K[/math]; дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов — [math]\forall \alpha \in K\ \forall x, y \in L: \alpha(x + y) = \alpha x + \alpha y[/math]; дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров — [math]\forall \alpha, \beta \in K\ \forall x \in L: (\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x[/math].

Определение:

Функция [math]\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}[/math] называется нормой в пространстве [math]L[/math], если для нее выполняется: [math]\forall x \in L: \| x \| \ge 0[/math], [math]\| x \| = 0 \iff x = \mathrm{0}[/math] [math]\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|[/math] [math]\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|[/math] Пространство с введенной на нем нормой называют нормированным пространством.

Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как [math]\rho(x, y) = \| x - y \|[/math]. Заметим, что обратное неверно: например, хоть [math]\mathbb{R}^{\infty}[/math] c [math]\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}[/math] и можно наделить линейной структурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.

Утверждение:

В нормированных пространствах линейные операции непрерывны.

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] x_n \to x , y_n \to y, \alpha_n \to \alpha[/math]. Тогда [math] x_n + y_n \to x + y [/math], так как [math] \|(x_n + y_n) - (x + y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \to 0[/math]. [math] \alpha_n x_n \to \alpha x [/math], так как [math] \|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha) x_n\| \le |\alpha| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x_n\| \to 0[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Примеры НП:

• [math]X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^{n} x_k^2}[/math]
• [math]X = C[a; b][/math] — пространство непрерывных на [math][a; b][/math] функций, [math]\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|[/math]
• [math]X = L_p[/math] — пространство функций, интегрируемых на множестве [math] E [/math] с [math] p [/math] степенью ,[math]\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}[/math]. В таком пространстве отождествленны функции, различающиеся на множестве меры ноль, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
• [math]X = \ell_p[/math] — пространство числовых последовательностей, суммируемых с [math]p[/math]-й степенью, норму можно ввести как [math]\|x\|_p = { \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right) }^{1 \over p}[/math]

Определение:

Нормированное пространство [math](X, \|\cdot\|)[/math] называется B-пространством (Банаховым), если для любой последовательности элементов [math]X[/math], для которых из [math]\|x_n - x_m\| \to 0[/math] при [math]n, m \to \infty[/math] вытекает существование предела последовательности.

Определение:

Нормы [math]\|\cdot \|_1[/math], [math]\|\cdot \|_2[/math] эквивалентны, если сходимость в них равносильна: [math]\forall \{x_n\}: x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x[/math].

Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть, выполняются рефлексивность, симметричность и транзитивность).

Утверждение:

Нормы [math]\|\cdot \|_1[/math], [math]\|\cdot \|_2[/math] эквивалентны [math] \iff [/math] существуют константы [math]m, M \gt 0[/math] такие, что [math]\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2[/math].

[math]\triangleright[/math]

Несложно показать, что из взаимной ограниченности норм следует равносходимость: [math] x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n \gt N: \|x_n - x\|_1 \lt \varepsilon \implies [/math] [math] \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n \gt N: \|x_n - x\|_2 \lt \frac \varepsilon m \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x[/math]; [math] x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x \implies \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n \gt N: \|x_n - x\|_2 \lt \varepsilon \implies [/math] [math] \forall \varepsilon\ \exists N: \forall n \gt N: \|x_n - x\|_1 \lt M \varepsilon \implies x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x[/math]. Теперь убедимся, что без взаимной ограниченности равносходимости также не будет: Так как ее нет, то не существует, например, необходимой константы [math] M [/math]. Значит, существует последовательность [math] \forall x_n: \|x\|_1 \gt n \|x\|_2 [/math]. Рассмотрим тогда последовательность [math] \frac {x_n}{\|x_n\|_1} [/math]. В норме [math] \|\cdot\|_2 [/math] она будет сходиться к нулю: [math] \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_2 \lt \|\frac {x_n}{n\|x_n\|_2}\|_2 = \frac1n \frac{\|x_n\|_2}{\|x_n\|_2} = \frac1n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math]. Но в [math] \|\cdot\|_1 [/math] каждый элемент имеет норму [math] \| \frac {x_n}{\|x_n\|_1} \|_1 = \frac {\|x_n\|_1}{\|x_n\|_1} = 1 \ne \|0\|_1[/math], то есть, последовательность [math] x_n [/math] к нулю в этой норме не сходится, что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Пространство [math] X [/math] конечномерно, если [math] \exists n = dim X \lt \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)[/math].

Теорема (Рисс):

В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем, что произвольная норма [math]\| \|[/math] в конечномерном пространстве [math]X[/math] эквивалентна [math]\| \|_2[/math], то есть выберем [math]m, M \gt 0: \forall x \in X: m \|x\|_2 \le \|x\| \le M \|x\|_2[/math], далее по отношению эквивалентности получим эквивалентность произвольной норме. Выберем и зафиксируем в пространстве [math]X[/math] произвольный базис [math](e_1 \dots e_n)[/math]. 1. [math]x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k[/math], [math]\| x \| \le \sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k| \| e_k \| \le [/math] (по неравенству Коши для сумм) [math] \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}[/math]. Заметим, что [math]\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n |\alpha_k|^2}[/math] является нормой [math]\| \|_2[/math] в координатной записи, а [math]\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \| e_k \|^2}[/math] является константным значением для фиксированного базиса. Таким образом, получили [math]\forall x \in X: \|x\| \le M \|x\|_2[/math]. 2. Теперь надо доказать, что [math]\exists m \forall x: m \|x\|_2 \le \|x\|[/math] Рассмотрим единичный шар по норме [math]\| \|_2[/math]: [math]S_2 = \{ \overline \alpha \mid \| \overline \alpha \|_2 = 1 \}[/math], [math]S_2[/math] является компактом в [math]\mathbb{R}^n[/math], воспользуемся теоремой Хаусдорфа и покажем: замкнутость: возьмем последовательность, пусть она сходится не к элементу единичной сферы, тогда с какого-то члена элементы последовательности тоже окажутся с нормой, не равной 1. вполне ограниченность: пусть нам дали какой-то [math]\varepsilon[/math], заметим что норма [math]\|\|_2[/math] — самое обычная длина вектора, возьмем и сделаем в параллелепипеде [math][0; 1]^n[/math] n-мерную сетку с шагом [math]\frac{\varepsilon}{\sqrt n}[/math], которая и будет центрами шаров радиусом эпсилон, тогда любая точка в параллелепипеде точно будет покрыта каким-то шаром Рассмотрим на нем функцию [math]f : S_2 \to \mathbb{R}[/math], [math]f(x) = \|x\| = \| \sum \alpha_i e_i \|[/math]. Покажем, что она непрерывна. Покажем, что [math]|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \|[/math]. Раскроем двумя способами модуль. [math] \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\ge0 [/math] [math]\implies [/math] [math]\|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\le\|\alpha\| + \|\Delta\alpha\|-\|\alpha\| = \|\Delta\alpha\|[/math] [math] \|\alpha+\Delta\alpha\|-\|\alpha\|\lt 0 [/math] [math]\implies [/math] [math]\|\alpha\|-\|\alpha+\Delta\alpha\|[/math][math]= \|\alpha+\Delta\alpha-\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|[/math][math]\le \|\alpha+\Delta\alpha\| + \|\Delta\alpha\| - \|\alpha+\Delta\alpha\|[/math][math] = \|\Delta\alpha\|[/math] По свойствам нормы, [math]\|\Delta\alpha\| = \|\sum \Delta\alpha_k e_k\| \le \sum \|\Delta\alpha_ke_k\| = \sum |\Delta\alpha_k| \|e_k\|[/math] [math]|f(\alpha_1 + \Delta \alpha_1 \dots \alpha_n + \Delta \alpha_n) - f(\alpha_1 \dots \alpha_n)| \le \sum |\Delta \alpha_k | \| e_k \| \le M \sqrt{\sum (\Delta \alpha_k )^2}[/math], то есть при стремлении [math]\Delta \alpha_k [/math] к [math]0[/math], расстояние между [math]f(\overline \alpha)[/math] и [math]f(\overline \alpha + \Delta \overline \alpha)[/math] также стремится к нулю, что означает непрерывность. Так как [math]f[/math] непрерывна на [math]S_2[/math], то по теореме Вейерштрасса она принимает минимум на этом компакте, равный [math]m[/math] (пусть он достигается в точке [math]\overline \alpha^*[/math]). Также [math]f[/math] не может быть нулем на [math]S_2[/math]: пусть для какого-то [math]x \in S_2[/math] это так, тогда тогда [math]\|x\| = 0 \implies \| \sum \alpha_k e_k \| = 0 \implies \alpha_k e_k = 0 \implies \forall k: \alpha_k = 0 \implies \|x\|_2 = 0[/math], что означает, что [math]x \notin S_2[/math], то есть [math]m \gt 0[/math]. Теперь рассмотрим произвольный ненулевой [math]x \in \mathbb{R}^n[/math], тогда точка [math]x' = {x \over \|x\|_2}[/math] также принадлежит [math]\mathbb{R}^n[/math] по линейности пространства, и в частности, принадлежит [math]S_2[/math]. Рассмотрим [math]x'[/math]: [math] f(x') = \|x'\| = \| {x \over {\| x \|_2}} \| = {{\| x \|} \over {\| x \|_2}} \ge m[/math], то есть [math]m \| x \|_2 \le \|x\|[/math]. Таким образом, получили обе части двойного неравенства.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно подпространством называется именно замкнутое подпространство, а алгебраические подпространства называют линейными подмножествами.

Теорема:

Пусть [math]X[/math] — НП и [math]Y[/math] — линейное конечномерное подмножество в [math]X[/math], тогда [math]Y[/math] — замкнуто в [math]X[/math], т.е. [math]\mathrm{Cl} Y = Y[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть для произвольного [math]y \in X[/math], [math]y_m \in Y, y_m \to y, Y = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n), \|\cdot\|[/math] --- исходная норма. Пусть [math]\|\cdot\|_2 = \max\{|\alpha_1|, \ldots, |\alpha_n|\}[/math]. По теореме Рисса, нормы [math]\|\cdot\|[/math] и [math]\|\cdot\|_2[/math] в [math]Y[/math] эквивалентны; в [math]\|\cdot\|_2[/math], очевидно, есть покоординатная сходимость. [math]\|y_m - y\| \to 0 \implies \|y_m - y\|_2 \to 0[/math]; так как [math] y_m [/math] сходится, то [math] y_m [/math] сходится в себе по [math] \|\cdot\|_2 [/math]. Вследствие покоординатной сходимости, [math]\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} - \alpha_k^{(m)} \to 0[/math]. По полноте вещественной оси, все [math]n[/math] последовательностей сходятся: [math]\forall k = 1, \ldots, n: \alpha_k^{(p)} \to \alpha_k^*[/math]. Возьмем [math] y^* = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k [/math]. По единственности предела, [math] y^* = y [/math]. Значит, [math]y = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k^* e_k[/math], [math]y \in Y[/math] и [math]Y = \mathrm{Cl} Y[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Пример: [math] X = C[0; 1][/math], [math]Y[/math] — пространство всех полиномов степени не выше [math] n [/math]. Очевидно, [math] Y [/math] конечномерно, и, по только что доказанной теореме, замкнуто. Значит, если рассмотреть произвольную сходящуюся последовательность полиномов из [math] Y [/math], то ее пределом будет также полином из [math] Y [/math]. Этот факт, тривиальный с точки зрения функционального анализа, классическими методами математического анализа получается очень непросто. Однако, если степень полиномов в [math]Y[/math] не ограничивать, то замыканием [math]Y[/math] будет все пространство [math]X[/math], по теореме Вейерштрасса, любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить полиномами.

Ссылки

• Vector space
• Norm