1302
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Линейный ограниченный оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''компактным''',
если <tex> A </tex> переводит любое ограниченное множество из <tex> X </tex>
в относительно компактное множество из <tex> Y </tex>.
}}
{{TODO|t = определение относительно компактного множества}}
<tex> \| A(x,t) \| \leq M \cdot \| x \| </tex>
== Критерий проверки компактности ==
== Произведение компактных операторов ==
{{TODO | t = к чему относиться следующий абзац??? }}
<tex> T \subset C[0,1] </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
# <tex> \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.
{{Утверждение
|statement =
<tex> A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) </tex>
<tex> C = B \cdot A </tex> (произведение, суперпозиция).
# Если <tex> B </tex> — ограниченный, <tex> A </tex> — компактный, то <tex> C </tex> — компактный.
# Если <tex> B </tex> — компактный, <tex> A </tex> — ограниченный, то <tex> C </tex> — компактный.
|proof =
}}
