Теорема Бейкера — Гилла — Соловэя

Теорема

Теорема:

Существуют такие оракулы [math]A[/math] и [math]B[/math], что [math]\mathrm{P^A} = \mathrm{NP^A} [/math] и [math]\mathrm{P^B} \ne \mathrm{NP^B} [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Существование оракула [math]A[/math] Рассмотрим PS-полный язык [math]\mathrm{TQBF}[/math]. [math] \mathrm{P^{TQBF}} \overset{(1)}{\subseteq} \mathrm{NP^{TQBF}} \overset{(2)}{\subseteq} \mathrm{NPS^{TQBF}} \overset{(3)}{=} \mathrm{PS^{TQBF}} \overset{(4)}{=} \mathrm{PS} \overset{(5)}{\subseteq} \mathrm{P^{TQBF}} \Rightarrow [/math] [math]\Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}[/math]. [math] \mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP} \Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NP^{TQBF}} [/math]. Так как [math]S(p,x) \le T(p, x)[/math], то [math] \mathrm{NP} \subseteq \mathrm{NPS} \Rightarrow \mathrm{NP^{TQBF}} \subseteq \mathrm{NPS^{TQBF}} [/math]. По теореме Сэвича [math] \mathrm{NPS^{TQBF}} = \mathrm{PS^{TQBF}} [/math]. [math] \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PS} \Rightarrow \mathrm{PS^{TQBF}} = \mathrm{PS} [/math]. [math] \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSC} \Rightarrow \mathrm{PS} \subseteq \mathrm{P^{TQBF}} [/math]. Следовательно, [math]\mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}[/math] Существование оракула [math]B[/math] Пусть [math]B[/math] — произвольное множество, а [math]U_B = \{1^n \bigm| \exists x \in B : |x| = n\}[/math]. Ясно, что [math]\forall B[/math] выполнено [math]U_B \in \mathrm{NP}^B[/math] (сертификатом будет слово нужной длины из [math]B[/math]). Построим такое множество [math]B[/math], что [math]U_B \not\in \mathrm{P}^B[/math]. Пронумеруем полиномиальные программы, получим последовательность [math]P_i[/math]. Множество [math]B[/math] будем строить итеративно, на очередной итерации номер [math]i[/math] делая так, что программа [math]P_i[/math] не распознает множество [math]U_B[/math]. В начале каждой итерации определимся с тем, с какой длиной слова [math]n_i[/math] мы будем работать. Для [math]n_i[/math] должны быть выполнены три условия: [math]2^{n_i} \gt T(P_i, (1)^{n_i})[/math] (это ограничение может быть достигнуто, так как мы исследуем только полиномиальные программы) [math]n_i \gt n_{i-1}[/math] (слово должно быть длиннее, чем слово, с которым мы работали на предыдущем шаге) [math]n_i \gt \max\limits_{s \in B} |s|[/math], где [math]B[/math] — текущая версия множества, которое мы строим (это ограничение может быть достигнуто, так как в множестве [math]B[/math] всегда конечное число элементов) Затем запустим программу [math]P_i[/math] на слове [math](1)^n[/math]. Каждый раз, когда она будет обращаться к оракулу для множества [math]B[/math], будем делать следующее: если запрошенное слово ранее было добавлено в множество [math]B[/math], отвечаем [math]ACCEPT[/math] в противном случае отвечаем [math]REJECT[/math] Если программа отработала и решила, что слово [math](1)^n[/math] принадлежит языку [math]U_B[/math], ничего делать не надо: ни одного слова длины [math]n[/math] в языке [math]B[/math] нет (из-за третьего требования к длине обрабатываемых слов), и никогда не появится (из-за второго требования к длине обрабатываемых слов). В противном случае, необходимо найти такое слово длины [math]n[/math], о котором программа [math]P_i[/math] не спрашивала оракул (оно всегда существует из-за первого требования к длине обрабатываемых слов: программа просто не успела бы спросить обо всех словах длины [math]n[/math]), и добавить это слово в множество [math]B[/math]. После этого все слова длины [math]n[/math] автоматически добавятся в язык [math]U_B[/math], и программа [math]P_i[/math] не будет верно распознавать этот язык (она будет неверно работать на слове [math](1)^n[/math]).

[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Утверждение:

Если существует решение вопроса равенства [math]\mathrm{P}[/math] и [math] \mathrm{NP}[/math], то оно не должно «релятивизоваться».

Для доказательства строгого включения классов часто используется метод диагонализации. Однако утверждения, полученные при помощи данной техники, могут быть «релятивизованы». То есть при «разрешении» машине Тьюринга доступа к оракулу некоторого языка доказанное соотношение классов сохраняется. Однако соотношение [math]\mathrm{P}[/math] и [math]\mathrm{NP}[/math] не должно «релятивизоваться» по теореме Бейкера-Гилла-Соловэя, следовательно, метод диагонализации не применим для решения этого вопроса.