Собственные векторы и собственные значения

Определение:

пусть [math]A:X \to X[/math] - линейный оператор (ЛО) [math]x\ne 0_x[/math] называется собственным вектором[math]A[/math], если [math]x \in L[/math], где [math]L[/math] - инвариантное подпространство [math]A[/math], b [math]dimL = 1[/math]

Определение:

пусть [math]A:X \to X[/math] [math]x\ne 0_x[/math] называется собственным вектором[math]A[/math], если существует [math]\lambda \in F : Ax = \lambda x[/math]

// здесь лемма что эквивалентны

Лемма:

предыдущие 2 утверждения эквивалентны

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] (1)\Rightarrow (2) : x \in L, dim(L)=1 \Rightarrow Ax \in L (x \ne 0_x \Rightarrow basis L = \{x\}), then Ax =! \lambda x[/math] [math] (1) \Leftarrow (2) : exists \lambda: Ax=\lambda x \Rightarrow x \in[/math] одном.(одномерному) п.п. [math]L =\{x\}, Ax = \lambda x \in L[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]\lambda[/math] в равенстве [math]Ax = \lambda x[/math] называется собственным числом(собственным значением) ЛО [math]A[/math]

Определение:

спектром [math]\sigma[/math] ЛО называется множество всех его собственных значений [math]\sigma (A) = \sigma _A = \{ \lambda _i \}[/math]

// здесь мог быть пример

Теорема:

собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям образуют ЛНЗ набор

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1)база: рассмотрим [math]\lambda \leftrightarrow x1 \ne 0_x \{x1\} - ЛНЗ[/math] 2) [math]\{x1,x2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ m-1 \}[/math] - ЛНЗ. Рассмотрим [math]\{x1, ..., x_m \} [/math]- доказать что ЛНЗ. [math]\sum\limits_{k=1}^m \alpha^i x_i = 0 [/math] [math]A( \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x[/math] (1) [math]\lambda_m( \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{k=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x[/math] (2) (1) - (2) : [math]\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_m-1(\lambda_m-1 - \lambda_m)x_m-1 + 0_x = 0_x[/math] по предположению индукции [math]\{x1,x2, ... , x_{m-1}\}[/math] - ЛНЗ [math]\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0 ... \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 [/math], при этом все [math](\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0[/math] [math]\Rightarrow [/math] все [math]\alpha_i = 0[/math] [math]\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x [/math], где [math]x_m \ne 0[/math] те набор ЛНЗ

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора [math]A[/math], образует подпространство пространства [math]X[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

не было у Ани в конспекте. наверное не нужно =)

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

пусть [math]L = \{[/math] все СВ [math] x_i \leftrightarrow \lambda_i \}[/math] называют собственным подпространством [math]\leftrightarrow[/math] СЗ [math]\lambda_i[/math]

Лемма:

пусть L - лин оболочка[math]\{ [/math] всех [math]x_i \leftrightarrow \lambda_i\}[/math] пусть [math]X_{\lambda i}[/math] - собственное подпространство X [math]\leftrightarrow \lambda_i[/math] тогда [math]L = X_{\lambda i}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

сначала [math]\subseteq[/math] потом [math]\supseteq[/math] [math]\Rightarrow[/math] доказательство

[math]\triangleleft[/math]

Лемма ((следствие из теоремы)):

у ЛО не может быть больше [math]n[/math] СЗ, где [math]n = dimX[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

не было у Ани в конспекте. наверное не нужно =)

[math]\triangleleft[/math]