Унитарный и ортогональный операторы

Определение:

Унитарным оператором называется оператор, сохраняющий скалярное произведение, то есть [math]\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)[/math]

Определение:

Унитарным оператором называется оператор, сохраняющий норму вектора, то есть [math]\Vert \mathcal{U}x \Vert=\Vert x\Vert \ (\forall x \in E)[/math]

Определение:

Унитарным оператором называется оператор такой, что [math]\mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+} \ (\mathcal{U}^{+}[/math] — эрмитовски сопряженный оператор[math])[/math], то есть [math]\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}[/math]

Теорема:

Все три определения эквивалентны

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Шаг 1. опр1 [math]\Rightarrow[/math] опр2 Пусть в первом определении [math]x=y: \left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle=\left \langle x;x \right \rangle \Rightarrow \Vert \mathcal{U}x \Vert^2=\Vert x\Vert^2 \Rightarrow \Vert \mathcal{U}x \Vert=\Vert x\Vert[/math] Шаг 2. опр2 [math]\Rightarrow[/math] опр1 Пусть во втором определении [math]x \rightarrow x+y: \Vert \mathcal{U}(x+y) \Vert=\Vert x+y\Vert \Rightarrow \Vert \mathcal{U}(x+y) \Vert^2=\Vert x+y\Vert^2 (*)[/math] Левая часть [math](*)=\left \langle \mathcal{U}(x+y);\mathcal{U}(x+y) \right \rangle=\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}x \right \rangle+\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle+\overline{\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle}+\left \langle \mathcal{U}y;\mathcal{U}y \right \rangle[/math] [math]=\Vert \mathcal{U}x \Vert^2+2Re\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle+\Vert \mathcal{U}y \Vert^2[/math] Правая часть [math](*)=\left \langle x+y;x+y \right \rangle=\Vert x \Vert^2+2Re\left \langle x;y \right \rangle+\Vert x \Vert^2[/math] Итого: [math]Re\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=Re\left \langle x;y \right \rangle[/math] Аналогично полагая, что [math]x \rightarrow x+iy[/math] получим, что [math]Im\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=Im\left \langle x;y \right \rangle[/math] Тогда [math]\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)[/math] Шаг 3. опр1 [math]\Rightarrow[/math] опр3 [math]\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;\mathcal{U}^+(\mathcal{U}y) \right \rangle=\left \langle x;\mathcal{U}^+\mathcal{U}y \right \rangle[/math], так как [math]\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle x;y \right \rangle \ (\forall x,y \in E)[/math], то [math]\mathcal{U}^+\mathcal{U}y=y=\mathcal{J}y \Rightarrow \mathcal{U}^+\mathcal{U}=\mathcal{J}[/math] Перейдем в ОРТН базис: [math]U^+U=E, \ det(U^+U)=detU^+ \cdot detU=detE=1 \Rightarrow \exists U^{-1} \Rightarrow \exists \mathcal{U}^{-1}[/math] Тогда [math]\exists \mathcal{U}^{-1}=\mathcal{U}^{+}[/math], то есть [math]\mathcal{U} \cdot \mathcal{U}^+=\mathcal{U}^+ \cdot \mathcal{U}=\mathcal{J}[/math] Шаг 4. опр3 [math]\Rightarrow[/math] опр1 [math]\mathcal{U}^+\mathcal{U}y=y (+)[/math] [math]\left \langle x;(+) \right \rangle: \left \langle x;\mathcal{U}^+\mathcal{U}y \right \rangle=\left \langle \mathcal{U}x;\mathcal{U}y\right \rangle= \left \langle x;y \right \rangle[/math]

[math]\triangleleft[/math]