Тензор

Тензоры: независимое от ПЛФ определение; свертка тензора; транспонирование тензора.

Пусть [math] W \in \boldsymbol{\Omega}_{q}^p [/math]. [math]\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(e_{i1}, e_{i2}, ..., e_{ip}, f^{j1}, ..., f^{jq}) [/math].

(1) {[math]e_i[/math]} [math]\longrightarrow \{ \tilde{e}_i\} [/math] под действием матрицы [math]T[/math].

(2) {[math]f_j[/math]} [math]\longrightarrow [/math] {[math]\tilde{f}_j[/math]} под действием матрицы [math]T^{-1}[/math].

[math]\tilde{\omega}_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} = W(\tilde{e}_{i1}, \tilde{e}_{i2}, ..., \tilde{e}_{ip}, \tilde{f}_{j1}, ..., \tilde{f}_{jq}) [/math] = [math] W(\tau_{i1}^{s1}e_{s1}, \tau_{i2}^{s2}e_{s2}, ..., \tau_{ip}^{sp}e_{sp}, \sigma_{t1}^{j1}f^{j1}, \sigma_{t2}^{j2}f^{j2}, ..., \sigma_{tq}^{jq}f^{jq})[/math] = [math]\tau_{i1}^{s1}\tau_{i2}^{s2}...\tau_{ip}^{sp}\sigma_{t1}^{j1}, \sigma_{t2}^{j2}, ..., \sigma_{tq}^{jq}*W(e_{s1}, e_{s2}, ..., e_{sp}, f^{t1}, f^{t2}, ..., f^{tq}). (*)[/math]

C учетом того, что [math](f^{j}, e_{i})[/math] = [math] \delta_{i}^{j} [/math]. И аналогично с [math]e, f[/math] взволнованными.

Определение:

Пусть [math]\{e\}_{i = 1}^n[/math] — базис Х. [math]\{f\}_{j = 1}^n[/math] — базис [math]X^{*}[/math]. Им соответствует [math]n^{p + q}[/math] чисел [math]\omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} [/math]. Эти [math]n^{p + q}[/math] чисел + закон преобразования [math](*)[/math] называются тензором. [math]q[/math] раз контрвариантный, p раз ковариантный.

[math]NB[/math] — ранг тензора ([math]q[/math], [math]p[/math]).

Примеры:

• x [math]\longleftrightarrow [/math] [math] \xi^i [/math]. (1, 0)

[math]x \in X[/math].

• f [math]\longleftrightarrow [/math] [math] \varphi_i [/math]. (0, 1)

[math]f \in X^*[/math]

• [math]\mathcal{A}[/math] : [math]X \to X \longleftrightarrow \alpha_{k}^{i}[/math]. (1, 1)
• Биленейная форма: [math]\mathcal{B}(x_1, x_2)\longleftrightarrow [/math] [math] \beta_{i1, i2} [/math]. (0, 2).
• (0, 0) — скаляр, число.

[math]\boldsymbol{\Omega}_{q}^p [/math] — линейное пространство всех форм валентности (p, q).

[math] W \longleftrightarrow \omega_{i1, i2, ..., ip}^{j1, j2, ..., jq} [/math]. Ранг (q, p).

Свертка тензора

Определение:

Пусть [math]U \in \boldsymbol{\Omega}_{q}^p [/math]. Сверткой формы [math]U[/math] по аргументам [math]x_i[/math], [math]y^j[/math] называется [math] \displaystyle \sum_{s=1}^n U(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, e_s, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, f^s, y^{j + 1}, y^q)[/math] = [math]W(x_1, x_2, ..., x_{i - 1}, x_{i + 1}, ... x_{p}; y^1, y^2, ..., y^{j - 1}, y^{j + 1}, y^q) [/math].

Лемма:

Свертка ПЛФ не зависит от пары сопряженных базисов.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]U(x_1 \ldots \tilde{e}_s \ldots x_p, y^1 \ldots \tilde{f}^s \ldots y^q) = U(x_1 \ldots \tau_{s}^{k}e_k \ldots x_p, y^1 \ldots \sigma_{l}^{s}f^l \ldots y^q)[/math] [math]= \underbrace{\tau_{s}^{k}\sigma_{l}^{s}}_{\delta_{l}^{k}}U(x_1 \ldots e_k \ldots x_p, y^1 \ldots f^l \ldots y^q) = U(x_1 \ldots e_k \ldots x_p, y^1 \ldots f^l \ldots y^q)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Пусть [math]\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}[/math] - тензор ранга (q,p). Сверткой [math]\stackrel{j_s \land i_t}{\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}}[/math] называется тензор ранга (q-1,p-1) вида: [math]\omega_{i1, i2, ...,i_{t-1},k,i_{t+1} \ldots ip}^{j1, j2, ...,j_{s-1}, k,j_{s+1}\ldots jq}[/math]

NB Сворачивать тензор можно только по паре один верхний/один нижний значек. А по паре , где 2 верхних(нижних) - нельзя.

Лемма:

[math]\stackrel{k \land l}{\stackrel{s \land t}{\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}}} = \stackrel{s \land t}{\stackrel{k \land l}{\omega_{\overline{ip}}^{\overline{jq}}}}[/math].

NB Если тензор ранга (p, p), то р - кратная свертка этого тензора называется его полной сверткой. Всего возможно р! полных сверток.

Транспонирование тензора

Определение:

Пусть дана многомерная матрица [math] \alpha_{i1, i2, ..., ip} [/math]. Двумерным слоем этой матрицы (соответствующей индексам i1, i2 например) называется обычная квадратная матрица, полученная из исходной фиксированием всех индексов кроме i1, i2.

Всего количество двумерных слоев — [math]n^{p - 2}*C_{p}^{2} [/math]

[math] ||\alpha_{ijk}|| = \begin{array}{||c c|c c||} \alpha_{111} & \alpha_{121} & \alpha_{112} & \alpha_{122}\\ \alpha_{211} & \alpha_{221} & \alpha_{212} & \alpha_{222}\\ \end{array}[/math]

Определение:

матрицей [math] \alpha_{i1, i2, ..., ip}^{T} [/math] транспонированной, например, по индексам i1, i2, называется матрица полученная из исходной, обычным транспонированием всех её двумерных слоев, отвечающих этим двум индексам (в нашем случае i1, i2).

Теорема:

Пусть [math]\omega_{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq}[/math]- тензор ранга (q,p). Пусть каждому базису соответствует [math]\varkappa _{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq} = \omega_{i1,i2,...,ip}^{j2,j1,...,jq} = \omega_{i1,i2,...,ip}^{T\; \underline{j1},\underline{j2},...,jq}[/math]. Тогда [math]\varkappa _{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq}[/math] - тензор ранга (q,p)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\tilde{\varkappa}_{i1,i2,...,ip}^{j1,j2,...,jq} = \omega_{i1,i2,...,ip}^{j2,j1,...,jq} = \sigma_{s_1}^{j_2}\sigma_{s_2}^{j_1} \ldots \sigma_{s_q}^{j_q} \tau_{i_1}^{t_1} \ldots \tau_{i_p}^{t_p} \omega_{t_1,t_2,...,t_p}^{s_1,s_2,...,s_q} = \tau_{i_1}^{t_1} \ldots \tau_{i_p}^{t_p} \sigma_{s_1}^{j_1}\sigma_{s_2}^{j_2} \ldots \sigma_{s_q}^{j_q} \underbrace{\omega_{t_1,t_2,...,t_p}^{s_2,s_1,...,s_q}}_{\varkappa_{t_1,t_2,...,t_p}^{s_1,s_2,...,s_q}}[/math]

[math]\triangleleft[/math]