Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора. — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Определитель линейного оператора)
Строка 10: Строка 10:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement = Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex> {{---}} автоморфизм в <tex>\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\ \Leftrightarrow </tex> <tex> A = ||\alpha_{k}^i|| </tex>, то есть <tex>(\mathcal{A}e_k)^i = \alpha_{n}^i, </tex> <tex> \mathcal{A}e_k = \sum \alpha_{k}^ie_i </tex>. <br>Тогда <tex> det\mathcal{A} = detA = det||\alpha_{k}^i||</tex>
 
|statement = Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex> {{---}} автоморфизм в <tex>\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\ \Leftrightarrow </tex> <tex> A = ||\alpha_{k}^i|| </tex>, то есть <tex>(\mathcal{A}e_k)^i = \alpha_{n}^i, </tex> <tex> \mathcal{A}e_k = \sum \alpha_{k}^ie_i </tex>. <br>Тогда <tex> det\mathcal{A} = detA = det||\alpha_{k}^i||</tex>
 +
}}
 +
 +
==Внешняя степень оператора==
 +
{{Определение
 +
|definition = Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex> {{---}} автоморфизм. Внешней степенью линейного оператора называется отображение <tex>\mathcal{A}^\wedge_p \colon \wedge_p \to \wedge_p </tex> по формуле <tex> \mathcal{A}^\wedge_p(e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}e_{i_1} \wedge \mathcal{A}e_{i_2} \wedge \wedge \mathcal{A}e_{i_n}</tex> и на остальные поливектора распределяется по линейности.
 +
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|statement= Для <tex>\forall (x_1 \wedge x_2 \wedge ... \wedge x_p) </tex>, верно что <tex>\mathcal{A}^\wedge_p(e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}x_1 \wedge \mathcal{A}x_2 \wedge ... \wedge \mathcal{A}x_p </tex>
 +
|proof = Рассмотрим : <br> <tex>\mathcal{A}^\wedge_p(x_i \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}^\wedge_p((\sum_{i=1}^{n}\xi^ie_{i_1}) \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_p})
 +
= \sum_{i=1}^{n}\xi^i\mathcal{A}^\wedge_p(e_{i_1}\wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}(\sum_{i=1}^{n}\xi^ie_i)\wedge \mathcal{A}e_{i_2} \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_n} = \mathcal{A}x \wedge \mathcal{A}e_{i_2}\ \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_p}</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Тензорная алгебра]]
 
[[Категория: Тензорная алгебра]]

Версия 23:09, 14 июня 2013

Определитель линейного оператора

Определение:
Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math] линейный оператор в некотором базисе [math]\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\[/math] линейного пространства [math]X[/math] над полем [math]F[/math]. Тогда определителем линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] называется детерминант [матрицы линейного оператора].


Определение:
Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math] — автоморфизм. Тогда [math]det||A|| = det\{\mathcal{A}e_1, \mathcal{A}e_2, ... , \mathcal{A}e_n\} = \sum\limits_{(j_1,j_2,...,j_n)} (-1)^{[j_1,j_2,...,j_n]}(\alpha_{j_1}^1\alpha_{j_2}^2...\alpha_{j_n}^n). [/math]


Лемма:
Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math] — автоморфизм в [math]\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\ \Leftrightarrow [/math] [math] A = ||\alpha_{k}^i|| [/math], то есть [math](\mathcal{A}e_k)^i = \alpha_{n}^i, [/math] [math] \mathcal{A}e_k = \sum \alpha_{k}^ie_i [/math].
Тогда [math] det\mathcal{A} = detA = det||\alpha_{k}^i||[/math]

Внешняя степень оператора

Определение:
Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math] — автоморфизм. Внешней степенью линейного оператора называется отображение [math]\mathcal{A}^\wedge_p \colon \wedge_p \to \wedge_p [/math] по формуле [math] \mathcal{A}^\wedge_p(e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}e_{i_1} \wedge \mathcal{A}e_{i_2} \wedge \wedge \mathcal{A}e_{i_n}[/math] и на остальные поливектора распределяется по линейности.


Теорема:
Для [math]\forall (x_1 \wedge x_2 \wedge ... \wedge x_p) [/math], верно что [math]\mathcal{A}^\wedge_p(e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}x_1 \wedge \mathcal{A}x_2 \wedge ... \wedge \mathcal{A}x_p [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим :
[math]\mathcal{A}^\wedge_p(x_i \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}^\wedge_p((\sum_{i=1}^{n}\xi^ie_{i_1}) \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_p}) = \sum_{i=1}^{n}\xi^i\mathcal{A}^\wedge_p(e_{i_1}\wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}(\sum_{i=1}^{n}\xi^ie_i)\wedge \mathcal{A}e_{i_2} \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_n} = \mathcal{A}x \wedge \mathcal{A}e_{i_2}\ \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_p}[/math].
[math]\triangleleft[/math]