1pi1sumwu

Постановка задачи

1) Дано [math] n [/math] работ и [math] 1 [/math] станок.

2) Для каждой работы известны её дедлайн [math] d_{i} [/math] и вес [math] w_{i} [/math]. Время выполнения всех работ [math] p_i [/math] равно [math] 1 [/math].

Требуется минимизировать [math]\sum w_{i} U_{i}[/math], то есть суммарный вес всех просроченных работ.

Алгоритм

Идея алгоритма состоит в том, чтобы на шаге [math] k [/math] строить оптимальное расписание для первых [math] k [/math] работ с наименьшими дедлайнами.

Будем считать, что работы отсортированны в порядке неуменьшения их дедлайнов. Пусть мы уже рассмотрели первые [math] k [/math] работ, тогда множество [math] S_{k} [/math] содержит только те работы, которые мы успеваем выполнить в порядке неуменьшения их дедлайнов при оптимальном составлении расписания . Рассмотрим работу [math] k + 1 [/math]. Если мы успеваем выполнить данную работу до ее дедлайна, то добавим ее во множество [math] S_{k} [/math], тем самым получив [math] S_{k + 1} [/math]. Если же [math] k + 1 [/math] работу выполнить до дедлайна мы не успеваем, то найдем в [math] S_{k} [/math] работу [math] l [/math] с наименьшим весом [math] w_{l} [/math] и заменим ее на работу [math] k + 1 [/math].

Таким образом, рассмотрев все работы, мы получим [math] S_{n} [/math] — множество работ, которые мы успеваем выполнить до наступления их дедлайнов, причем вес просроченных работ будет наименьшим. От порядка выполнения просроченных работ ничего не зависит, поэтому расположить в расписании их можно произвольным образом.

Псевдокод

Предполагаем, что перед началом выполнения алгоритма выполняется, что [math] 1 \leqslant d_{1} \leqslant d_{2} \leqslant ... \leqslant d_{n} [/math]. Все работы, дедлайн которых равен [math] 0 [/math], мы в любом случае выполнить без штрафа не успеем, поэтому их изначально можно отнести к просроченным.

[math] S [/math] — множество непросроченных работ, [math] t [/math] — текущее время.

[math] t = 1; [/math]
[math] S =  \varnothing; [/math]
for [math] i = 1 [/math] to [math] n [/math]
    [math] S = S \cup \{i\} ;[/math]
    if [math] d_{i}  \geqslant t [/math]     
        [math] t = t + 1; [/math]
    else
        найти такое [math] k [/math], что [math] w_{k} = \min \{ w_{j} \mid j \in S\}; [/math]
        [math] S = S \setminus \{k\}; [/math]

Доказательство корректности

Покажем, что алгоритм строит корректное расписание.

Если мы успеваем выполнить очередную работу, то, очевидно, от ее добавления, расписание не может стать некорректным. В противном случае мы пытаемся заменить одну работу из множества [math] S [/math] на текущую. Но это так же не может сделать наше расписание некорректным. Это следует из того, что мы рассматриваем работы в порядке неуменьшениях их дедлайнов. Пусть мы заменяем работу [math] k [/math] на работу [math] i [/math]. Но [math] d_{k} \leqslant d_{i} [/math], следовательно, если мы успевали выполнить работу [math] k [/math], то успеем выполнить и работу [math] i [/math].

Теперь докажем, что построенное данным алгоритмом расписание оптимально.

Пусть [math] S^* [/math] множество непросроченных работ в оптимальном расписании. Также пусть [math] l [/math] — первая работа из множества [math] S [/math], которая не входит в [math] S^* [/math], а [math] k [/math] — первая работа из [math] S^* [/math], не содержащаяся в [math] S [/math]. Мы можем предполагать существование этих работ, потому что [math] S^* [/math] не может содержать [math] S [/math] как подмножество, иначе это противоречило бы построению [math] S [/math]. С другой стороны, если [math] S^* \subseteq S [/math], то [math] S [/math] должно быть тоже оптимальным, и правильность алгоритма доказана.

Для доказательства покажем, что мы можем заменить работу [math] k [/math] на работу [math] l [/math] в оптимальном расписании, не увеличивая минимизируемую функцию.

Рассмотрим два случая:

1) [math] l \lt k [/math]:

Так как работа [math] k [/math] не содержится в [math] S [/math], то либо она не была добавлена при ее рассмотрении, либо была заменена работой, рассмотренной позднее. В любом случае это означает, что [math] w_{k} \leqslant w_{l} [/math]. Так же по определению [math] k [/math] все работы [math] i \in S^* : i \lt k [/math] должны содержаться и в [math] S [/math]. Но тогда заменив в оптимальном расписании [math] k [/math] на [math] l [/math], мы сохраним корректность расписания и не увеличим минимизируемую функцию.

2) [math] k \lt l [/math]:

Так как мы рассматриваем работы в порядке неубывания их дедлайнов, то, следовательно, [math] d_{k} \leqslant d_{l} [/math], и замена работы [math] k [/math] на [math] l [/math] в оптимальном расписании [math] S^* [/math] не может сделать его некорректным. Тогда для доказательства нам осталось показать, что [math] w_{k} \leqslant w_{l} [/math].

Пусть [math] k_{i_{0}} = k [/math] — работа, замененная работой [math] i_{0} [/math] в процессе построения [math] S [/math], и пусть [math] k_{i_{1}}, ..., k_{i_{r}} [/math] — последовательность работ, которые были исключены из [math] S [/math] после замены [math] k [/math], причем работа [math] k_{i_{v}} [/math] была заменена работой [math] i_{v} [/math]. [math] i_{0} \lt i_{1} \lt ... \lt i_{r} [/math]. Будем говорить, что "работа [math] i_{v} [/math] подавляет [math] i_{m} [/math]", где [math] m \lt v [/math], если [math] k_{i_{v}} \leqslant i_{m} [/math]. В таком случае получаем, что [math] w_{k_{i_{v}}} \geqslant w_{k_{i_{m}}}[/math], потому что в противном случае работа [math] k_{i_{v}} [/math] была бы исключена из [math] S [/math] раньше чем [math] k_{i_{m}} [/math].

Если в последовательности [math] i_{0} \lt i_{1} \lt ... \lt i_{r} [/math] существует подпоследовательность [math] j_{0} = i_{0} \lt j_{1} \lt ... \lt j_{s} [/math] такая, что [math] j_{v + 1} [/math] подавляет [math] j_{v} [/math] для всех [math] v = 0,1, ..., s - 1 [/math] и [math] j_{s - 1} \lt l \leqslant j_{s} [/math], то получаем, что [math] w_{l} \geqslant w_{k_{j_{s}}} \geqslant ... \geqslant w_{k_{j_{0}}} = w_{k} [/math], что доказывает оптимальность расписания [math] S [/math].

Покажем, что отсутствие такой подпоследовательности приведет нас к противоречию, из чего будет следовать ее существование.

Предположим, что такой подпоследовательности не существует. Тогда найдем наименьшее [math] t [/math] такое, что не существует работы [math] i_{v} : v \gt t [/math], которая бы подавляла работу [math] i_{t} [/math], и [math] i_{t} [/math] было бы меньше [math] l [/math]. По определению [math] l [/math] и [math] i_{t} [/math] и из факта, что [math] i_{t} \lt l [/math], получаем, что после добавления во множество [math] S [/math] работы [math] i_{t} [/math], ни одна из работ, рассмотренных ранее, не будет удалена из [math] S [/math], а так же все эти работы содержатся и в оптимальном расписании [math] S^* [/math], поскольку [math] i_t \lt l [/math].

Пусть [math] S_t [/math] это множество [math] S [/math] после замены работы [math] k_{i_t} [/math] на [math] i_t [/math]. Если [math] k_{i_t} \gt k [/math], то в оптимальном расписании [math] S^* [/math] мы можем заменить работу [math] k [/math] на [math] k_{i_t} [/math], поскольку [math] d_{k_{i_t}} \geqslant d_k [/math]. Но так как [math] S_t \subset S^* [/math], то все работы из множества [math] S_t \cup \{k_{i_t}\} [/math] могут быть выполнены до их дедлайнов, что противоречит построению [math] S [/math]. Следовательно, [math] k_{i_t} \lt k [/math]. Тогда аналогично предыдущему случаю получаем, что все работы из множества [math] S_t \cup \{k\} [/math] могут быть выполнены вовремя. Кроме того, все работы из [math] \{ j \in S_t | j \lt k \} \cup \{k_{i_t}\} [/math] так же могут быть выполнены вовремя, что следует из построения [math] S_t [/math]. Но тогда получается, что все работы и из множества [math] S_t \cup \{k_{i_t}\} [/math] так же могут быть выполнены вовремя, что опять приводит нас к противоречию с построением [math] S [/math].

Время работы

Время работы алгоритма зависит от того, насколько быстро мы будем добавлять и удалять работы из множества [math] S [/math], а также как быстро мы будем искать работу с минимальным весом. Если в качестве множества [math] S [/math] использовать структуру данных, умеющую выполнять данные операции за [math] O(\log n) [/math], то время работы всего алгоритма будет составлять [math] O(n\log n) [/math]. Например, такими структурами данных являются двоичная куча и красно-черное дерево.

Литература

• Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» — «Springer», 2006 г. — 96 стр. — ISBN 978-3-540-69515-8